matematica

Nell’ambito “Aritmetica e algebra”, l’insegnante introduce gli alunni nel mondo dei numeri e delle operazioni aritmetiche di base. L’insieme dei numeri naturali con lo zero ( ℕ ₀) e le operazioni di calcolo vengono approfonditi verticalmente, con un’estensione graduale fino a 1000. Gli alunni sviluppano il concetto di numero attraverso la classificazione, l’associazione e il conteggio di materiali concreti, passando poi progressivamente al livello grafico e simbolico. L’insegnante guida sistematicamente gli alunni nell’uso dei materiali concreti, affinché acquisiscano routine e capacità di lavorare in modo autonomo.

Gli alunni apprendono i numeri razionali in modo esperienziale, come parti di un intero, utilizzando oggetti e modelli e li rappresentano sotto forma di frazione. Riconoscono diversi tipi di sequenze in contesti di vita quotidiana e in situazioni matematiche.

I contenuti aritmetici vengono affrontati in modo da sviluppare il pensiero e le idee matematiche, creando collegamenti tra le conoscenze acquisite. Le competenze vengono applicate nella risoluzione di problemi e di esercizi testuali.

L’introduzione dei numeri naturali con lo zero si sviluppa verticalmente durante tutto il percorso della scuola primaria, manifestandosi nel primo ciclo come un’estensione progressiva dell’insieme numerico caratteristico di ciascuna classe (1ª classe: fino a 20; 2ª classe: fino a 100; 3ª classe: fino a 1000). L’insegnante differenzia il lavoro in base alle conoscenze pregresse e alle capacità degli alunni, consentendo così che in 1ª classe si sviluppino rappresentazioni numeriche fino a 100, e in 2ª classe fino a 1000.

In 1ª classe, gli alunni apprendono inizialmente i numeri fino a 10 e successivamente fino a 20, esercitandosi con addizioni e sottrazioni. Il numero 0 viene introdotto in due modi: come assenza di elementi e come differenza tra due numeri naturali uguali. Il livello standard di apprendimento prevede il calcolo fino a 20 senza passaggio (riporto o prestito), ma l’insegnante introduce già calcoli con passaggio attraverso rappresentazioni concrete, che tuttavia non vengono valutati.

In 2ª classe, gli alunni conoscono l’insieme dei numeri naturali ( ℕ ₀) fino a 100, comprendente lo zero e approfondiscono l’addizione e la sottrazione nell’ambito dei numeri naturali (compreso lo 0) fino a 100. Al termine della 2ª classe dovrebbero essere in grado di calcolare con passaggio della decina fino a 100, mentre lo standard minimo richiede il calcolo senza passaggio.

In 3ª classe, gli alunni apprendono i numeri fino a 1000 e acquisiscono la capacità di eseguire addizioni e sottrazioni fino a 1000, prima oralmente e poi con l’algoritmo scritto. Nella sottrazione scritta si utilizza un metodo basato sulla regola della differenza. Alla fine della 3ª classe dimostrano di saper addizionare e sottrarre fino a 1000 con passaggio, mentre lo standard minimo prevede il calcolo fino a 1000 senza passaggio. Gli alunni vengono introdotti alle nuove operazioni di moltiplicazione e divisione, e memorizzano automaticamente i prodotti (fino a 10 × 10) e i quozienti corrispondenti.

Nell’introdurre le nuove operazioni aritmetiche, l’insegnante le collega a quelle già conosciute e rinforza i rapporti reciproci: addizione e sottrazione come operazioni inverse; moltiplicazione e divisione come operazioni inverse; moltiplicazione come addizione di addendi uguali.

Le parti dell’intero vengono trattate nel primo ciclo a livello concreto e figurativo, utilizzando diverse rappresentazioni (modello su superficie piana, modello lineare e modello di insieme). In 3ª classe viene introdotta anche la rappresentazione simbolica. Il modello su superficie piana mette in risalto due dimensioni (modello circolare, rettangolare, griglia quadrata 10 × 10, rappresentazioni di Dienes). Il modello lineare enfatizza una sola dimensione, la lunghezza (strisce di lunghezza, semirette numeriche). Il modello di insieme rappresenta l’intero come un gruppo di oggetti.

Nel gruppo di obiettivi “Sequenze”, l’insegnante tratta con gli alunni due tipi di situazioni: sequenze ripetitive e sequenze crescenti (o decrescenti). In 1ª e 2ª classe l’attenzione è rivolta alle sequenze ripetitive (schemi ), che gli alunni rappresentano con materiali concreti. In 3ª classe vengono introdotte le sequenze crescenti (es. sequenze di immagini e sequenze derivanti dai multipli dei numeri).

Fin dalla 1ª classe, l’insegnante introduce gradualmente gli alunni alla risoluzione di problemi testuali, sotto forma di combinazioni di immagini e testi ispirati a situazioni di vita reale. Alla descrizione della situazione segue una domanda mirata. Nella risoluzione, gli alunni applicano le conoscenze matematiche già acquisite (ad esempio, l’uso di un’operazione aritmetica). In 3ª classe vengono gradualmente introdotti nella risoluzione di problemi complessi, definiti come quelli in cui non conoscono a priori il procedimento di risoluzione e devono pianificarlo autonomamente.

Didaktična priporočila: modelli lineari e modelli di insiemi. L’insegnante introduce il concetto di parti dell’intero utilizzando il metodo dell’apprendimento esperienziale, scegliendo per il lavoro concreto materiali che gli alunni possono piegare e su cui possono lasciare tracce (es. dividere l’intero in parti uguali). In 1ª classe g li alunni riconoscono la metà e un quarto su modelli concreti (es. un foglio di carta, una striscia di carta o stoffa...) e attraverso esempi della vita quotidiana (es. metà di un panino, un quarto di una pizza). In 2ª classe r iconoscono e nominano le parti dell’intero (metà, un quarto, un ottavo – e anche un terzo nei modelli lineari), ancora senza notazione simbolica. Ricompongono l’intero a partire dalle sue parti, usando modelli. L’insegnante sottolinea che si ottiene una parte dell’intero solo se la divisione è in parti uguali . Mostra anche esempi negativi: divisione in due o quattro parti che non sono delle stesse dimensioni. Per illustrare la metà, l’insegnante sceglie modelli con almeno un asse di simmetria; per il quarto, modelli con almeno due assi di simmetria. Gli alunni prima dividono i modelli a metà, poi cercano il quarto (e l’ottavo). Imparano a identificare una parte dell’intero, e in seguito anche più parti (es. due terzi, tre quarti, due quarti), ma solo in alcuni esempi. In 3ª classe, s i introducono le frazioni scritte con una sola parte dell’intero (es. , , … ) e alcuni esempi con più parti dell’intero (es. , , . ). Gli alunni sviluppano la comprensione della scrittura simbolica contando le parti (es. in quante parti uguali è stata divisa l’intera figura, quante ne abbiamo tolte/colorate...).

Didaktična priporočila: In terza classe si ampliano il riconoscimento e la denominazione delle parti dell’intero e si introducono modelli di insiemi, che gli alunni associano alla divisione a livello concreto (es. distribuire 35 carte tra 5 giocatori; “quante sono un terzo di 12 biglie?”). Il modello di insieme risulta più complesso per l’alunno, perché non rappresenta più l’intero come un unico oggetto, ma come un insieme di oggetti disgiunti. Tuttavia, l’introduzione di questo modello è fondamentale per collegare il concetto di parti dell’intero all’operazione di divisione e preparare il passaggio al calcolo con frazioni previsto in 4ª classe. ________________________________________________________________________________

Riconoscimento delle parti dell’intero su schede: Osserva le immagini e le scritte sulle schede e classificale in base alla parte dell’intero che rappresentano: metà, un terzo, un quarto.

Rappresentazione di un quarto: Utilizzando i vari materiali presenti sul banco, rappresenta un quarto. Gli alunni hanno a disposizione: a) una striscia di carta, b) bastoncini di legno, c) cubetti da incastro Mathlink, d) una scheda didattica con rettangoli disegnati su una griglia a quadretti.

Problema testuale: Jure, Maja, Ana e Tilen si divideranno una pizza in parti uguali. Disegna. In quante parti uguali divideranno la pizza, se ognuno ne riceverà un pezzo?

Risposta: ________________________________________: Quale parte della pizza riceverà ciascun bambino?

Didaktična priporočila: Il termine sequenza viene utilizzato per due tipi di situazioni: sequenza ripetitiva (come sostituto del termine “modello”), quando un elemento costitutivo si ripete regolarmente, sequenza crescente/decrescente, quando il valore dei termini aumenta o diminuisce. Riconoscere e proseguire sequenze è un processo importante nel pensiero pre-algebrico. Nel primo ciclo (1. VIO) si pone l’accento sulle sequenze ripetitive che l’insegnante presenta con materiale concreto, permettendo agli alunni di esplorare, commettere errori e fare collegamenti interdisciplinari con la musica, l’arte, lo sport, ecc. Gli alunni acquisiscono in modo esperienziale i concetti di sequenza, termine, elemento costitutivo e regola. L’obiettivo dell’apprendimento delle sequenze ripetitive è il riconoscimento dell’elemento che si ripete. È importante che l’elemento costitutivo si ripeta almeno due volte all’interno della sequenza. Una volta raggiunta la comprensione, gli alunni devono essere incoraggiati a creare sequenze ripetitive autonomamente e a provare a verbalizzare la regola. L’insegnante mostra anche esempi di sequenze con la stessa regola (es. ABAB), ma con termini diversi, affinché gli alunni comprendano che una stessa struttura può essere rappresentata in molte forme diverse. In 3ª classe, gli alunni conoscono ed esplorano anche sequenze in cui i valori dei termini aumentano, ossia sequenze crescenti (con sequenze più brevi). Continuano a utilizzare materiale concreto, ma vengono introdotte anche rappresentazioni grafiche (es. disegni su carta quadrettata).

Didaktična priporočila: È importante che gli alunni riescano a esprimere verbalmente come intendono proseguire logicamente la sequenza e a generalizzare quali saranno i termini successivi o quelli in una determinata posizione. Un modo efficace per introdurre l’algebra nel primo ciclo è proporre esercizi aritmetici che includano domande di natura algebrica, in modo che l’insegnante stimoli gli alunni a osservare regolarità e formulare regole. Esempio: una sequenza di calcoli come 4 + 1, 4 + 2, 4 + 3, 4 + 4, 4 + 5 … può essere approfondita con la domanda “Cosa noti?” per incoraggiare gli alunni a spostare l’attenzione dal singolo calcolo al confronto tra i risultati, scoprendo così la regolarità: aggiungendo 1 al risultato di un calcolo, si ottiene il risultato del calcolo successivo..

Didaktična priporočila: La conoscenza dei numeri naturali con lo zero si sviluppa in modo verticale, e nel primo ciclo si manifesta come un’estensione graduale dell’insieme dei numeri caratteristico di ciascuna classe (1ª classe: fino a 20, 2ª classe: fino a 100, 3ª classe: fino a 1000). In questo processo gli alunni sviluppano sia conoscenze concettuali, che comprendono lo sviluppo della rappresentazione numerica, sia conoscenze procedurali, che riguardano la scrittura e la rappresentazione dei numeri. Lo sviluppo delle rappresentazioni numeriche è fondamentale per l’acquisizione efficace delle competenze aritmetiche. Gli alunni fin da piccoli sviluppano un’intuizione naturale per i numeri più piccoli. Il significato del numero e la capacità di comprendere numeri più grandi si acquisiscono invece con un apprendimento sistematico, che considera sia l’aspetto cardinale (il numero rappresenta una quantità) sia quello ordinale (il numero indica una posizione in una sequenza). Lo sviluppo della rappresentazione numerica deve basarsi su attività pratiche per favorire negli alunni la percezione della quantità. I numeri vengono introdotti attraverso tre livelli di rappresentazione, in quest’ordine: livello concreto, livello grafico e livello simbolico. L’uso di rappresentazioni diverse e la creazione di connessioni tra esse consentono agli alunni di approfondire la comprensione dei numeri e delle relazioni tra di essi. Le rappresentazioni concrete possono includere materiali non strutturati o strutturati, che devono essere scelti con attenzione in base agli obiettivi e all’insieme dei numeri da trattare. In 1ª classe, l’insegnante parte da materiali non strutturati (ad es.

Didaktična priporočila: cubetti, gettoni, sassolini, fagioli, ecc.) e introduce progressivamente una struttura attraverso il raggruppamento per decine (ad es. legare 10 bastoncini in un mazzetto, disporre 10 uova in una confezione, utilizzare i blocchi Dienes). Il numero 0 viene introdotto come assenza di elementi e come differenza tra due numeri naturali uguali. Le relazioni tra numeri si sviluppano gradualmente: inizialmente gli alunni confrontano i numeri, poi imparano a ordinarli. Nel descrivere l’ordine dei numeri, l’insegnante collega l’attività anche all’uso dei numeri ordinali. I simboli matematici formali per esprimere le relazioni tra numeri (<, >) vengono introdotti in 2ª classe. L’insegnante pianifica l’insegnamento dei numeri naturali in modo da collegare obiettivi provenienti da diversi gruppi di competenze , ad esempio: Numeri naturali e numero 0, Classificazione e Statistica. Per esempio, dalla classificazione si può selezionare l’obiettivo: “l’alunno classifica elementi secondo criteri diversi e verbalizza la proprietà secondo cui sono stati classificati”. Dall’ambito Numeri naturali e numero 0: “l’alunno sviluppa rappresentazioni numeriche attraverso la classificazione, l’associazione e il conteggio di materiali concreti”; e dalla Statistica: “l’alunno utilizza diversi tipi di rappresentazioni per organizzare i dati”. In questo modo, durante l’introduzione dei numeri, l’attività di partenza può consistere nella classificazione di oggetti (elementi) secondo criteri diversi, seguita dal conteggio degli elementi, dalla rappresentazione con altro materiale didattico (ad es.

Didaktična priporočila: cubetti ad incastro), dal confronto delle quantità e dal ragionamento su “quanto manca per arrivare a…” e simili.

1. Il concetto di numero: Quando scrivono un numero a una cifra, gli alunni distinguono tra diversi significati del numero scritto: il numero come rappresentazione della quantità di elementi in un insieme (es. 3 arance ), il numero come indicazione dell’ordine in una sequenza (es. 3° posto in una gara), il numero come segno identificativo o codice (es. autobus n. 3 ), il numero come valore numerico associato a un’unità di misura (es. 3 kg ). Gli alunni approfondiscono il concetto di numero creando collegamenti tra diverse rappresentazioni: concreta, rappresentata da un insieme di oggetti; grafica, rappresentata da un’immagine di oggetti; semi-astratta, rappresentata dalla linea dei numeri, da una semiretta numerica o da una griglia 10×10; simbolica, che si riferisce alla scrittura del numero con una cifra. È importante distinguere tra i seguenti termini: Numero : concetto astratto che rappresenta la quantità di un insieme. Cifra : simbolo dei numeri 0, 1, 2 … 9, base del sistema posizionale. Cifra: scrittura di un numero mediante simboli.

Sviluppare la percezione dei numeri piccoli: “Immagini lampo”: Gli alunni osservano per un attimo dei piatti di carta con dei puntini disegnati e devono rispondere alla domanda: Quanti puntini ci sono sul piatto?

I significati dei numeri nella vita quotidiana: Gli alunni, in situazioni di vita reale (ad esempio durante una “passeggiata matematica” intorno alla scuola), scoprono dove e come si usano i numeri. Con fotografie o immagini creano delle schede e descrivono che cosa rappresentano i numeri o le cifre in ciascun caso. In questo modo imparano a distinguere tra numero e cifra. Esempi: quanti mandarini ci sono nel sacchetto e quanto pesano tutti insieme; quale giocatore indossa la maglia con il numero 77 ; scrivendo un indirizzo indichiamo il numero civico o il codice postale; sullo scontrino del negozio, con i prezzi e il totale pagato; comprando le scarpe dobbiamo conoscere la misura (numero del piede), ecc.

2. Principi del conteggio: Quando parliamo di conteggio, intendiamo un processo specifico. Contare significa pronunciare in ordine convenuto i nomi dei numeri, mentre enumerare è una forma particolare di associazione uno a uno: ad ogni elemento contato si assegna un numero specifico. L’obiettivo è l’acquisizione dei cinque principi fondamentali del contare: a) principio di corrispondenza biunivoca: ogni oggetto viene contato una sola volta e nessuno viene saltato; b) principio dell’ordine fisso: il bambino usa sempre lo stesso ordine dei numeri durante il conteggio; c) principio della cardinalità: il bambino comprende che l’ultimo numero pronunciato rappresenta la quantità totale degli elementi contati; d) principio dell’astrazione: il bambino capisce che il conteggio può essere applicato a qualsiasi insieme di oggetti o concetti; e) principio dell’indipendenza dall’ordine: il bambino comprende che l’ordine in cui si contano gli oggetti non influisce sulla quantità totale. Dapprima l’insegnante dà agli alunni l’opportunità di contare gli oggetti che possono spostare, gli oggetti che possono solo toccare, gli oggetti che possono solo vedere e infine gli oggetti che possono solo immaginare.

Esempio di attività: Contare le dita della mano: Quante dita mostra la mano nell’immagine? Gli alunni del gruppo ricevono delle carte con dei numeri scritti sopra (fino a 100). Lavorano in gruppo (6–8 bambini). Ogni gruppo riceve cartoncini con numeri fino a 100. Discutono su come rappresentare un numero scelto con le dita. Posano poi le mani sul tavolo per essere fotografate. Le foto delle mani possono essere usate successivamente per esercitarsi nel conteggio rapido delle dita.

3. Sistema posizionale (unità decimali): In 1ª classe è fondamentale lo sviluppo dell’intuizione numerica; in 2ª e 3ª classe ciò viene approfondito con l’introduzione formale delle unità decimali (il sistema di numerazione decimale posizionale). Questo aiuta gli alunni a comprendere le relazioni tra i numeri nel sistema decimale e a riconoscere l’importanza della posizione della cifra nel determinare il valore del numero. L’insegnante raggiunge questo obiettivo usando materiale strutturato adeguato (come: torri di cubetti ad incastro, modelli di denaro, blocchi Dienes o rappresentazioni delle unità decimali). Già in 1ª classe, gli alunni possono intuire il concetto di decina, anche se non lo nominano ancora. Quando si introducono i numeri della seconda decina (11, 12, … 20), si parte da una decina alla quale si aggiungono singole unità. In questo modo, gli alunni scoprono i numeri naturali fino a 20. Possono utilizzare varie basi che rappresentano la decina, lavorare con materiale strutturato o esplorare strumenti didattici che illustrano le unità decimali. In 3ª classe, gli alunni imparano a conoscere le unità, le decine, le centinaia e le migliaia, creando così una base solida per comprendere il sistema posizionale e, in seguito (in 4ª classe), l’insieme dei numeri naturali fino al milione. Quando rappresentano un numero con i modelli delle unità decimali (ad es. cubi Dienes, immagini o denaro), o sulla semiretta numerica, sanno indicare tra quali numeri si trova e a quale numero (ad es. 30 o 40) è più vicino. L’insegnante introduce così il concetto di arrotondamento alle decine e alle centinaia — un contenuto cognitivamente impegnativo per gli alunni.

3. Sistema posizionale (unità decimali): ________________________________________________________________________________

Contare gli elementi (introduzione delle unità decimali): Gli alunni sperimentano diversi modi per contare un numero maggiore di oggetti. Scoprono che è più facile raggruppare gli elementi (in gruppi di 5 o 10) e poi contarli. Si introducono i termini decina e unità e il significato della posizione delle cifre in un numero.

4. Individualizzazione e differenziazione: Nell’insegnamento, l’insegnante segue i principi di individualizzazione e differenziazione. Gli alunni entrano nella 1ª classe con livelli diversi di sviluppo del concetto di numero; l’insegnamento deve quindi essere adattato alle conoscenze pregresse di ciascuno di essi. Ad esempio, se alcuni sanno già contare fino a 10, non ha senso limitarli a contare solo fino a 5. Gli alunni più competenti possono arrivare già in 1ª classe a contare fino a 100. Per gli alunni che hanno già molte conoscenze pregresse o che progrediscono più velocemente (alunni dotati), l’insegnante dovrebbe preparare compiti con un livello di difficoltà più elevato, come: attività che richiedono la rappresentazione dei numeri con materiali diversi e in modi diversi, attività che richiedono di collegare conoscenze provenienti da ambiti differenti, attività che implicano spiegazioni o argomentazioni, attività che comportano l’uso di numeri non ancora affrontati durante le lezioni. È importante includere gli alunni in forme di lavoro cooperative, come l’apprendimento a coppie (un alunno più abile e uno meno esperto) in cui i compagni apprendono reciprocamente.

Esempio di attività: Gioco a coppie con una base per la decina In questo gioco a coppie, ogni alunno riceve una base per rappresentare dieci elementi (base decimale), dei gettoni o cubetti ad incastro (gli elementi) e tra i due alunni viene posta una barriera/uno schermo che separa i giocatori. Quando l’insieme dei numeri viene esteso fino a 20, ciascun giocatore riceve due basi decimali. Ogni giocatore dispone segretamente un certo numero di elementi sulla propria base. A turno, i giocatori si pongono domande a cui si può rispondere solo con SÌ o NO, cercando di raccogliere abbastanza indizi per scoprire quanti elementi sono stati disposti sulla base. Esempi di domande: La riga superiore è piena? Ci sono 8 gettoni sulla base? C’è una casella vuota nella riga inferiore? Quando i giocatori diventano più esperti, possono contare anche il numero di domande poste. Vince chi formula meno domande e indovina correttamente il numero di elementi disposti sulla base decimale. i. __________________________________________________________________________________________

Didaktična priporočila: In prima classe, gli alunni iniziano a conoscere i numeri naturali fino a 10 e il numero 0, seguiti dai numeri naturali fino a 20 e imparano ad eseguire addizioni e sottrazioni con essi. La comprensione della cardinalità del numero (ad es. attraverso il riconoscimento intuitivo della quantità in insiemi con pochi elementi, con la strategia “parte-parte-totale”) aiuta gli alunni a costruirsi la struttura del numero (es. 7 = __ + __). Come nell’introduzione ai numeri, anche per le operazioni aritmetiche è importante che gli alunni acquisiscano conoscenze passando per i livelli concreto, rappresentativo (o figurativo) e simbolico. Nella prima classe, lo standard di apprendimento si limita ai calcoli fino a 20 senza riporto, ma viene già introdotto il calcolo con riporto, che però non viene valutato dall'insegnante. Il calcolo con riporto si pratica con l’ausilio di rappresentazioni concrete (nota: se l’alunno non ha bisogno di materiali concreti per eseguire il calcolo con riporto, l’insegnante gli permette di calcolare senza ausili). Il metodo della scomposizione del secondo addendo o sottraendo, più impegnativo a livello cognitivo, viene introdotto in seconda classe, ma si comincia a preparare già in prima (con uno standard che riguarda la ricerca di coppie di numeri con una somma data, in particolare la somma 10). In seconda classe, nell’ambito dei numeri naturali fino a 100, gli alunni approfondiscono ulteriormente le operazioni di addizione e sottrazione (il riporto viene introdotto con rappresentazioni concrete strutturate).

Didaktična priporočila: Gli alunni possono usare diversi procedimenti per calcolare entro il 100; l’insegnante non impone un metodo unico corretto, ma può suggerire quelli più efficaci (ad es. per 35 + 29 l’alunno può aggiungere prima 20 e poi 9; oppure può sommare prima le decine e poi le unità; può anche scoprire strategie innovative per evitare il riporto, ad es. aggiungere 30 e poi sottrarre 1). Si presenta agli alunni il metodo di calcolo tramite scomposizione del secondo numero nell’operazione (es. 8 + 7 = 8 + 2 + 5 = 10 + 5 = 15; 36 + 27 = 36 + 20 + 7 = 56 + 7 = 63), ma l’insegnante non insiste sull’uso esclusivo di questo metodo, soprattutto se gli alunni sviluppano una propria strategia efficace che li porta al risultato corretto. In terza classe, gli alunni acquisiscono l’addizione e la sottrazione fino a 1000, dapprima oralmente, poi anche con l’algoritmo scritto. Il calcolo orale fino a 1000 si limita a casi senza riporto (es. dalle somme di centinaia, come 300 + 200 , alle somme di due numeri di tre cifre senza riporto, come 324 + 215 ), poiché l’obiettivo principale è lo sviluppo della rappresentazione numerica. L’algoritmo scritto viene introdotto con lo scopo di semplificare il calcolo, e l’insegnante lo estende gradualmente anche ai calcoli con riporto (es. ). Nel calcolo scritto della sottrazione con riporto (cambio), si utilizza il procedimento basato sulla regola dell’invarianza della differenza, ovvero: sia il minuendo che il sottraendo vengono aumentati di 10, in modo che la differenza resti invariata.

Didaktična priporočila: Poiché 10 unità equivalgono a 1 decina, questo viene rappresentato nell’algoritmo come aggiunta di 10 unità alle unità del minuendo e aggiunta di 1 decina alle decine del sottraendo. Il metodo di trasformazione delle unità decimali, che consiste nel convertire una decina in 10 unità, non viene introdotto sistematicamente, ma può essere proposto agli alunni che trovano difficile il metodo basato sull’invarianza della differenza. In terza classe, gli alunni scoprono anche due nuove operazioni aritmetiche: la moltiplicazione e la divisione. La moltiplicazione viene introdotta attraverso l’addizione di addendi uguali, mentre la divisione viene presentata in due modalità: divisione partitiva (distribuzione in parti uguali), dove si cerca quanti elementi ci sono in ciascun gruppo; divisione quotativa (raggruppamento), dove si cerca quanti gruppi si possono formare. Gli alunni devono memorizzare e conoscere per automatismo i prodotti (fino a 10 × 10 ) e i quozienti collegati alla tabellina. Nel trattare i quozienti, si parte dalla divisione (es. l’operazione 8 ÷ 2 = __ viene interpretata dall’insegnante come la determinazione del numero di gruppi da 2 elementi – cioè: quanti gruppi da 2 si possono formare da un insieme di 8 elementi). Durante l’introduzione dei multipli del 2, gli alunni scoprono i numeri pari e dispari. Comprendono che i multipli continuano anche oltre il decimo multiplo (es. 11 × 2, 12 × 2... ), e che la divisione non sempre dà un risultato esatto, ad esempio: con numeri dispari, rimane un resto nella divisione per 2.

Didaktična priporočila: Gli alunni acquisiscono comprensione e familiarità con tutte e quattro le operazioni aritmetiche con i numeri naturali e lo zero e imparano i procedimenti per eseguirle.

A)Comprensione delle operazioni aritmetiche e delle loro proprietà: In prima classe, gli alunni scoprono l'addizione come aggiunta o come unione di elementi e la sottrazione come rimozione da un insieme di elementi. Per presentare entrambe le operazioni, l’insegnante utilizza situazioni di vita quotidiana (esperienze vissute) e materiale concreto, che gli alunni poi descrivono verbalmente. La situazione viene quindi trasferita a livelli grafici e simbolici, ma il passaggio tra le rappresentazioni non deve essere troppo rapido. L’insegnante presenta le operazioni aritmetiche usando modelli, immagini, le descrive a parole e infine le rappresenta con numeri, in modo che gli alunni possano comprendere il funzionamento delle operazioni e il loro utilizzo in contesti reali. Si parte da un’esperienza concreta, ad esempio: una situazione di abbattimento di birilli. Gli alunni descrivono l’esperienza (ad es. “C'erano 5 birilli. Nina ha lanciato la palla e ha abbattuto 2 birilli. Tre birilli sono ancora in piedi.”). L’esperienza viene poi rappresentata graficamente a un livello semi concreto (disegno dei birilli) e semi-astratto (i birilli sono rappresentati con linee, due delle quali vengono barrate). Infine, si passa alla rappresentazione simbolica (es. 5 – 2 ). L’insegnante introduce le operazioni in modo che gli alunni possano dedurre l’espressione matematica dalla situazione concreta e usare i simboli (+ e -), senza concentrarsi solo sul risultato dell’operazione. Attraverso esempi di vita quotidiana, gli alunni intuiscono che l’addizione aumenta la quantità (otteniamo di più), mentre la sottrazione la riduce (otteniamo di meno). Da ciò deducono che addizione e sottrazione sono operazioni inverse.

A)Comprensione delle operazioni aritmetiche e delle loro proprietà: L’insegnante incoraggia gli alunni ad esprimersi oralmente, sia con linguaggio matematico formale, sia con linguaggio quotidiano legato al contesto dell’esercizio (es. “due più tre fa cinque” / “a due mele ne abbiamo aggiunte tre, ora ne abbiamo cinque in tutto”). Incoraggia anche a descrivere i processi di pensiero e le strategie di risoluzione, promuovendo così anche gli obiettivi trasversali delle discipline di lingua, cittadinanza e arte (ad es. (1.1.2.2), (1.1.2.1)). Nella scoperta delle operazioni di moltiplicazione e divisione, l’insegnante parte anch’egli da situazioni quotidiane (es. “pantofole a coppie”, “macchinine con quattro ruote”…) e usa vari materiali didattici concreti. L’alunno deve comprendere che la divisione è semplicemente un altro modo di esprimere una moltiplicazione con un fattore mancante (es. __ × 2 = 8 può essere scritto anche come 8 ÷ 2 = __ ). Attraverso attività concrete, gli alunni scoprono le proprietà delle operazioni, come la proprietà commutativa e la proprietà associativa

B) Strategie di calcolo: All’inizio, gli alunni utilizzano strategie di calcolo meno efficaci, spesso legate al conteggio (es. con le dita, conteggio di oggetti concreti, ecc.). In seguito, passano a strategie più complesse, più veloci ed efficaci (che comportano meno errori). L’insegnante dovrebbe riconoscere le strategie usate dagli alunni e guidarli verso strategie più evolute, ma consentendo sempre l’uso di quelle con cui ottengono risultati corretti. Le strategie di calcolo si dividono in:

B) Strategie di calcolo: Strategie materiali (uso di strumenti concreti, es. dita, striscia numerica…);

B) Strategie di calcolo: Strategie verbali (aiuto con il conteggio, conteggio di multipli, pronuncia ad alta voce del procedimento…);

B) Strategie di calcolo: Strategie mentali (richiamo dei fatti aritmetici dalla memoria, uso di procedimenti mentali specifici). Gli alunni apprendono gradualmente le tecniche di addizione e sottrazione con i numeri naturali fino a 100, seguendo questi passaggi:

B) Strategie di calcolo: sommare/sottrarre unità senza superare una decina,

B) Strategie di calcolo: sommare/sottrarre unità per arrivare a un multiplo di 10,

B) Strategie di calcolo: sommare/sottrarre multipli di 10.

B) Strategie di calcolo: sommare/sottrarre un numero di due cifre senza cambio (senza passaggio della decina ),

B) Strategie di calcolo: sommare/sottrarre un numero di due cifre fino a un multiplo di 10,

B) Strategie di calcolo: sommare/sottrarre un numero di due cifre con cambio (con passaggio della decina)..

C) Espressioni numeriche e concetto di uguaglianza: L’insegnante introduce in modo intuitivo i concetti base dell’algebra già dalla seconda classe. Uno dei metodi è l’uso di operazioni con un termine mancante, che tecnicamente rappresentano la risoluzione di equazioni, ma con una forma di scrittura semplificata (ad esempio usando un riquadro o una linea vuota), adatta al livello di sviluppo dell’alunno. La risoluzione delle equazioni può essere introdotta attraverso esperienze con la bilancia e materiale concreto, facendo scoprire agli alunni il significato di uguaglianza e del simbolo “=” come relazione tra il lato sinistro e destro dell’equazione (equilibrio della bilancia). In seconda e in terza classe, la strategia di risoluzione delle equazioni si basa sul ragionamento logico. Esempio: 9 + ____ = 23 Come capire quanto bisogna aggiungere a 9 per ottenere 23? Riflettendo: bisogna sottrarre 9 da 23 (cioè: 23 – 9). Se questi ragionamenti risultano difficili per gli alunni o se non hanno ancora dimestichezza con il concetto di operazioni inverse, l’insegnante può proporre esempi più semplici con numeri più piccoli oppure utilizzare rappresentazioni grafiche, come la linea dei numeri o tabelle. ________________________________________________________________________________

Ricerca del numero mancante:: Viene proposto il calcolo 15 – __ = 8 , che l’alunno può esprimere a parole, ad esempio: Ho 15 gettoni. Quanti ne devo coprire/togliere per farne rimanere 8? L’alunno copre o toglie i gettoni con dei cartoncini finché sul tavolo ne rimangono visibili esattamente 8. Poi determina quanti gettoni ha coperto o tolto.

Concetto di uguaglianza:: Gli alunni, attraverso esempi pratici con la bilancia, riflettono su cosa devono fare per equilibrare la bilancia (cioè, affinché il lato sinistro sia uguale al lato destro). Partendo da situazioni concrete o rappresentazioni grafiche con la bilancia, deducono quanti elementi è necessario aggiungere, togliere o spostare affinché la bilancia risulti in equilibrio. ________________________________________________________________________________

D) Problemi testuali: I problemi testuali nel primo ciclo rappresentano la descrizione di situazioni di vita quotidiana e situazioni matematiche (ad esempio operazioni aritmetiche) sotto forma di testo scritto. Alla descrizione della situazione segue una domanda mirata, per la cui risoluzione gli alunni utilizzano procedimenti matematici già appresi (ad esempio un’operazione nota). Per risolvere il problema, gli alunni devono dimostrare di aver compreso la consegna, traducendo il testo scritto in una rappresentazione matematica adeguata e applicando la terminologia matematica appropriata. Le situazioni di vita descritte nei problemi testuali devono derivare dal vissuto dell’alunno, dai suoi ambiti di interesse e da collegamenti interdisciplinari. Lo scopo della risoluzione dei problemi testuali è quello di fare in modo che gli alunni riconoscano il concetto matematico nel testo e usino un procedimento noto per risolverlo. L’introduzione ai problemi testuali avviene in modo graduale: gli alunni descrivono a parole un’immagine e danno risposte orali, assegnano un’espressione matematica a un’immagine che la rappresenta, abbinano un calcolo a un’immagine. Si prosegue con compiti che combinano immagine e testo: ad esempio, disegnano una soluzione a partire da un testo scritto o associano un calcolo e una risposta a un’immagine. In terza classe gli alunni vengono introdotti gradualmente alla risoluzione di problemi , in cui non conoscono il procedimento da seguire e devono pianificarlo in autonomia.

D) Problemi testuali: Nel contesto proposto, gli alunni identificano il problema, analizzano i dati, risolvono in modo sistematico e valutano le soluzioni trovate, formulano risposte e diventano consapevoli dei propri processi mentali durante la risoluzione. Gli alunni non dispongono di strategie predefinite: devono recuperarle dalle esperienze e conoscenze precedenti, adattandole alla nuova situazione. In genere, la risoluzione dei problemi consente agli studenti di utilizzare una varietà di strategie che portano alla/e soluzione/i corretta/e. La soluzione del problema deve avere per l’alunno un valore intellettuale e/o pratico. Gli alunni affrontano anche problemi con più soluzioni possibili, dati insufficienti o superflui. In questi casi, l’obiettivo è che gli alunni riconoscano quale dato manca per risolvere il problema, lo cerchino nelle fonti o lo determinino autonomamente. L’insegnante sceglie problemi che stimolino lo sviluppo e l’uso di diverse strategie risolutive, come: organizzazione dei dati (tabelle, elenchi), ipotesi ragionate, risoluzione di problemi più semplici o simili, drammatizzazione della situazione, risoluzione all’indietro, ricerca di schemi/regole, deduzione logica, uso di disegni o diagrammi. ________________________________________________________________________________

Esempio di esercizi:: Problema testuale : Maša riceve ogni settimana 2 euro di paghetta dai suoi genitori. Quanti soldi avrà accumulato dopo 7 settimane? Risoluzione: Risposta: ____________________________________________________ Problema: Maša riceve la paghetta nel seguente modo: ogni 6 giorni i suoi genitori le danno 2 euro. Dopo quanti giorni, Maša avrà 20 euro, se nel frattempo non spende nulla? Risoluzione: Risposta: ____________________________________________________

Differenziazione e individualizzazione: L'insegnante deve monitorare costantemente le conoscenze e le eventuali lacune degli alunni nel percorso di acquisizione degli obiettivi e degli standard del sapere. Le differenze tra gli alunni più capaci e quelli con difficoltà si manifestano più frequentemente nel raggiungimento degli obiettivi relativi alle operazioni con i numeri naturali e con lo zero. Agli alunni con difficoltà di apprendimento nella comprensione della matematica è di grande aiuto una buona pratica didattica , che dovrebbe includere:

Differenziazione e individualizzazione: un approccio pianificato e sistematico all'insegnamento, suddiviso in piccoli passi,

Differenziazione e individualizzazione: istruzioni chiare e comprensibili (strutturate),

Differenziazione e individualizzazione: molte occasioni per esercitarsi nelle abilità e consolidare le conoscenze in modi diversi,

Differenziazione e individualizzazione: uso di supporti per l'apprendimento (materiali concreti, supporti verbali e non verbali),

Differenziazione e individualizzazione: insegnamento di strategie di apprendimento (es. per memorizzare fatti, per seguire la sequenza dei passaggi),

Differenziazione e individualizzazione: scomposizione di compiti o problemi complessi in unità più piccole (passi intermedi o sotto-domande),

Differenziazione e individualizzazione: consolidamento tramite attività motivanti (giochi didattici). Gli alunni utilizzano materiale concreto finché ne hanno bisogno. Per gli alunni più capaci, l’insegnante propone: problemi più complessi, esercizi con più soluzioni possibili, attività che richiedono spiegazioni e argomentazioni e permette loro di passare più rapidamente tra le rappresentazioni (se l’alunno non ha più bisogno del materiale concreto per calcolare, può passare a risolvere esercizi a livello simbolico, utilizzando anche strategie proprie di calcolo corrette).