matematika

Pri temi Aritmetika in algebra učitelj vpelje učence v svet števil in osnovnih računskih operacij. Obravnava množice naravnih števil s številom nič (v nadaljevanju ℕ₀) in računskih operacij se vertikalno nadgrajuje s postopno razširitvijo do 1000. Učenci razvijajo številske predstave z razvrščanjem, prirejanjem in preštevanjem konkretnega materiala ter postopoma prehajajo na grafično in simbolno raven. Učenci se navajajo na delo s konkretnim materialom tako, da jih učitelj sistematično vodi do usvojitve rutin in samostojnega dela pri tem.

Racionalna števila učenci izkustveno spoznavajo kot dele celote na predmetih in z modeli ter jih zapišejo v obliki ulomka. V življenjskih in matematičnih okoliščinah prepoznavajo različne vrste zaporedij.

Aritmetične vsebine obravnavajo tako, da pri tem razvijajo matematično mišljenje, matematične ideje in povezujejo znanje. Pridobljena znanja učenci uporabijo pri reševanju besedilnih in problemskih nalog.

Vpeljava naravnih števil s številom nič se skozi celotno osnovnošolsko izobraževanje vertikalno nadgrajuje, kar se v prvem vzgojno-izobraževalnem obdobju kaže v postopni razširitvi množice števil, ki je značilna za posamezni razred (1. razred: do 20; 2. razred: do 100; 3 razred: do 1000). Učitelj glede na predznanje učencev in njihove zmožnosti delo diferencira in tako omogoča, da v 1. razredu razvijajo številske predstave v množici naravnih števil do 100, v 2. razredu pa do 1000.

V 1. razredu učenci spoznajo najprej števila do 10 in nato še do 20 ter jih seštevajo in odštevajo. Število 0 spoznajo na dva različna načina: kot odsotnost elementov in kot razliko dveh enakih naravnih števil. Standard znanja je sicer omejen na računanje do 20 brez prehoda, učitelj pa uvaja tudi že računanje s prehodom ob konkretnih reprezentacijah, ki pa ga ne ocenjuje.

V 2. razredu učenci spoznajo množico naravnih števil (ℕ₀) do 100 s številom nič, nadgradijo seštevanje in odštevanje v ℕ₀ do 100. Učenci naj bi ob koncu 2. razreda računali s prehodom do 100, kot minimalni standard je opredeljeno seštevanje in odštevanje brez prehoda.

V 3. razredu učenci spoznajo števila do 1000 in usvojijo seštevanje in odštevanje do 1000 najprej z ustnim, nato še s pisnim algoritmom. Pri pisnem odštevanju uporabljamo postopek, ki temelji na pravilu razlike. Ob koncu 3. razreda izkažejo znanje seštevanja in odštevanja do 1000 s prehodom in kot minimalni standard računanje do 1000 brez prehoda. Učenci spoznajo novi računski operaciji množenje in deljenje in do avtomatizma usvojijo zmnožke (do 10 · 10) ter količnike.

Pri spoznavanju novih računskih operacij učitelj le-te naveže na že poznane operacije in utrjuje povezave med njimi: seštevanje in odštevanje kot nasprotni operaciji, množenje in deljenje kot obratni operaciji in množenje kot seštevanje enakih seštevancev.

Dele celote učitelj v prvem vzgojno-izobraževalnem obdobju obravnava na konkretni in slikovni ravni, pri čemer uporablja raznovrstne reprezentacije (ploskovni, dolžinski model in model množic), v 3. razredu doda simbolni zapis. Ploskovni model je model s poudarjenima dvema dimenzijama (krožni model, pravokotni model, kvadratna mreža 10 · 10, Dienesova ponazorila). Dolžinski model je model s poudarjeno eno dimenzijo tj. dolžino (dolžinski trakovi, številski poltrak). Model množice je model, kjer je celota ponazorjena z naborom predmetov.

Pri skupini ciljev Zaporedja učitelj z učenci obravnava dva tipa situacij: ponavljajoče in rastoče (padajoče) zaporedje. V 1. in 2. razredu je poudarek na ponavljajočih zaporedjih (vzorcih), ki jih učenci prikazujejo s konkretnim materialom. V 3. razredu naj učenci spoznavajo in raziskujejo rastoča zaporedja (slikovna zaporedja in zaporedja, ki izhajajo iz večkratnikov števil).

Učitelj učence že v 1. razredu postopoma vpeljuje v reševanje besedilnih nalog, v obliki kombinacije slike in besedila, ki izhaja iz življenjskih situacij. Opisu situacije sledi vprašanje, ki je ciljno usmerjeno. Pri reševanju učenci uporabljajo že prej usvojeno matematično znanje (npr. uporaba računske operacije). V 3. razredu se učenci postopoma vpeljujejo v reševanje problemskih nalog, ki so opredeljene kot naloge, v katerih ne poznajo poti do rešitve in jo morajo samostojno načrtovati.

Didaktična priporočila: Spoznavanje naravnih števil s številom 0 se vertikalno nadgrajuje, kar se v 1. VIO kaže v postopni razširitvi množice števil, ki je značilna za posamezen razred (1. razred: do 20, 2. razred: do 100, 3. razred: do 1000). Pri tem učenci razvijajo konceptualno znanje, ki vključuje razvoj številskih predstav učencev, in proceduralno znanje, ki se nanaša na zapisovanje števil. Razvoj številskih predstav je ključen za uspešen razvoj aritmetičnih znanj. Učenci že zgodaj razvijejo intuitiven občutek za manjša števila. Pomen števila in spretnosti dojemanja večjih števil pa pridobijo pri sistematičnem učenju in poučevanju preko kardinalnega (predstavlja količino) vidika in ordinalnega (predstavlja mesto v zaporedju) vidika. Razvoj številskih predstav mora temeljiti na praktičnih dejavnostih, da učenci dobijo občutek za količino. Števila se vpeljujejo s tremi tipi reprezentacij v naslednjem vrstnem redu: konkretna, grafična in simbolna raven. Z uporabo raznovrstnih reprezentacij in ustvarjanjem povezave med njimi učenci poglabljajo razumevanje števil in odnosov med njimi. Konkretne reprezentacije lahko vključujejo tako nestrukturiran kot strukturiran material, ki pa ga je treba premišljeno izbrati glede na cilje in množico naravnih števil: v 1. razredu učitelj izhaja iz nestrukturiranega materiala (npr. kocke, žetoni, kamenčki, fižolčki …), ki mu postopno dodaja strukturo z grupiranjem predmetov v skupine po 10 (npr. 10 palčk povežemo v snopič, 10 jajc zložimo v škatlo za jajca, uporabimo Dienesova ponazorila). Število 0 se vpelje kot odsotnost elementov in kot razliko dveh enakih naravnih števil.

Didaktična priporočila: Relacije med števili se razvijajo postopno: najprej učenci števila primerjajo, nato urejajo. Pri opisu urejenosti števil se učitelj naveže tudi na rabo vrstilnih števnikov, formalne matematične simbole za opis relacije med števili <, > vpelje v 2. razredu. Učitelj načrtuje obravnavo naravnih števil tako, da povezuje cilje iz različnih skupin ciljev npr. Naravna števila in število 0, Razvrščanje in Statistika. Iz razvrščanja npr. izbere cilja: učenec razvršča elemente po različnih kriterijih, ubesedi lastnost, po katerih so bili elementi razvrščeni; iz naravnih števil in števila 0 izbere cilj: učenec razvija številske predstave ob razvrščanju, prirejanju in preštevanju konkretnega materiala; ter iz statistike izbere cilj: učenec uporablja različne vrste prikazov za ureditev podatkov. Tako je pri vpeljavi števil lahko izhodiščna dejavnost razvrščanje predmetov (elementov) po različnih kriterijih, ki mu sledi preštevanje elementov, nato predstavljanje elementov z drugim didaktičnim materialom npr. link kockami, primerjanje količine elementov, sklepanje o tem, koliko manjka do ... itd. 1. Koncept števila Pri zapisu števila s številko učenci razlikujejo med različnimi pomeni zapisanih števil:

Didaktična priporočila: številka kot zapis števila elementov v množici (npr. 3 pomaranče),

Didaktična priporočila: številka kot opredelitev vrstnega reda v zaporedju (npr. 3. mesto na tekmovanju),

Didaktična priporočila: številka kot oznaka (avtobus 3),

Didaktična priporočila: številka kot številska vrednost ob merski enoti (3 kg). Koncept števila poglabljajo z ustvarjanjem povezav med različnimi reprezentacijami: konkretne, ki je podana z množico objektov; grafične, ki je podana s sliko objektov; semiabstraktne, ki je podana s številskim trakom, številskim poltrakom in stotičnim kvadratom; simbolne, ki se nanaša na zapis števila s številko. Pri tem je treba razlikovati med naslednjimi termini: Število: abstrakten pojem, ki opredeljuje moč množice. Števka: simbol za števila 0, 1, 2 ... 9, ki so osnova sistema mestne vrednosti. Številka: zapis števila s simbolom. ____________________________________________________________________________________________________ _____ Zgledi dejavnosti: Razvijanje občutka za manjša števila: Hitre slike Učenci na papirnatih krožnikih (s hitrim pogledom) prepoznajo količino pik. Odgovorijo na vprašanje: Koliko pik je na krožniku? Pomeni zapisa števil v vsakdanjem življenju Učenci v situacijah iz vsakdanjega življenja (lahko kot matematični potep po šolski okolici) odkrivajo, kje vse uporabljamo števila. S pomočjo fotografij/sličic izdelajo kartice, ob katerih lahko opišejo, kaj s števili/številkami sporočamo. Tako razlikujemo med številko in številom. Npr. povemo, koliko mandarin je v vrečki in koliko tehtajo vse mandarine skupaj; kateri igralec nosi dres s številko 77; pri zapisu naslova zapišemo hišno številko in številko pošte; v trgovini dobimo račun z zapisanimi cenami posameznih artiklov, ki smo jih kupili, in kolikšni znesek smo plačali za vso kupljeno blago; pri nakupu čevljev moramo poznati številko (velikost) noge itd.

Didaktična priporočila: ____________________________________________________________________________________________________ _____ 2. Načela štetja Ko govorimo o štetju, je s tem mišljen točno določen postopek. Štetje je nizanje imen za števila v dogovorjenem zaporedju, preštevanje pa je posebna oblika prirejanja: vsakemu od preštevanih elementov priredimo natančno določeno ime števila. Cilj je usvojitev osnovnih petih načel štetja: a) načelo povratno enoličnega prirejanja : vsak šteti predmet učenec prešteje le enkrat (poimenuje z eno besedo, ki je pozneje več ne ponovi) in nobenega predmeta pri štetju ne izpusti; b) načelo urejenosti ali ustaljenega vrstnega reda : pri preštevanju učenec uporablja stalen, nespremenjen vrstni red poimenovanja števil; c) načelo kardinalnosti : učenec zna določiti moč množice, kar mu pove zadnje poimenovano število, ki smo ga uporabili pri preštevanju; č) načelo abstrakcije : učenec spozna, da lahko postopek štetja uporabi za katerokoli množico stvari (fizični objekti ali pojmi); d) načelo neodvisnosti vrstnega reda štetja : učenec se zave, da vrstni red preštevanja predmetov ni pomemben za določanje moči množice. Učitelj učencem omogoča, da najprej preštevajo predmete, ki jih lahko premikajo; nato predmete, ki se jih lahko samo dotikajo, ne morejo pa jih premakniti; potem predmete, ki jih le vidijo, in nato predmete, ki si jih le predstavljajo. ____________________________________________________________________________________________________ _____ Zgled dejavnosti: Preštevanje prstov na roki: Koliko prstov na roki prikazuje slika? Učenci v skupini prejmejo kartončke z zapisanimi števili (do 100). Skupina naj ima 6 do 8 članov.

Didaktična priporočila: Člani skupine se pogovorijo, kako bi s prsti prikazali izbrano število. Roke s prikazanimi prsti položijo na mizo, da jih učitelj lahko fotografira. Slike s prsti se lahko uporabijo pri naslednji dejavnosti, ko urimo hitro štetje (prstov na sliki). ____________________________________________________________________________________________________ _____ 3. Sistem mestnih vrednosti (desetiške enote) V 1. razredu je ključno pridobivanje občutka za števila, v 2. in 3. razredu pa je to nadgrajeno s formalno vpeljavo desetiških enot (sistem mestnih vrednosti), ki prispevajo k izgradnji razumevanja o odnosih med števili v desetiškem številskem sestavu in k ozaveščanju pomena položaja števke v zapisu števila za določanje vrednosti števila. To učitelj pri učencih doseže z uporabo ustreznega strukturiranega materiala (npr. stolpiči link kock, modeli denarja, modeli desetiških enot oz. Dienesova ponazorila). Tako učenci že v 1. razredu lahko na intuitivni ravni spoznajo desetico (vendar je ne poimenujejo). Pri vpeljavi števil v drugi desetici (11, 12 ... 15 ... 20) izhajajo iz desetice, ki ji dodajajo posamezne elemente (enice) in tako spoznajo naravna števila do 20. Pri tem lahko učenci uporabljajo različne podlage, ki predstavljajo desetico, pripravljajo strukturiran material ali se seznanijo z didaktičnim materialom, ki predstavlja desetiške enote. V 3. razredu tako spoznajo že E, D, S, T ter s tem ustvarijo dobro podlago za razumevanje sistema mestnih vrednosti in s tem uvid v množico naravnih števil do milijona (4. razred). Ko učenci predstavljajo število ob modelih desetiških enot (npr.

Didaktična priporočila: Dienesove kocke, slikovno gradivo), z denarjem ali na številskem poltraku, znajo povedati, med katerima številoma leži in kateremu številu (npr. 30 ali 40) je bližje. Tako učitelj učence vpeljuje v zaokroževanje števil na desetice in stotice, kajti vsebina je zanje miselno zelo zahtevna. ____________________________________________________________________________________________________ _____ Zgled dejavnosti: Preštevanje elementov (vpeljava desetiških enot) Učenci preizkušajo uspešne načine preštevanja večjega števila elementov. Pridejo do spoznanja, da lahko elemente grupirajo (po 5, 10) in jih nato preštejejo. Vpeljemo še poimenovanji desetica in enica ter pomen položaja števk v številu. ____________________________________________________________________________________________________ _____ 4. Individualizacija in diferenciacija Pri poučevanju učitelj sledi načelu individualizacije in diferenciacije. Učenci vstopajo v 1. razred z različno razvitimi številskimi predstavami, kar je treba upoštevati in poučevanje prilagoditi predznanju posameznega učenca (npr. če učenci že znajo šteti do 10, potem ni smiselno, da pri obravnavi števila 5 štejejo zgolj do 5, in jim s tem onemogočati izkazovanje njihovega znanja). Zmožnejši učenci lahko že v 1. razredu štejejo do 100. Učitelj naj za učence, ki imajo veliko predznanja ali hitreje napredujejo kot ostali učenci (zmožnejši učenci), pripravlja naloge na višji ravni zahtevnosti:

Didaktična priporočila: naloge/dejavnosti, ki zahtevajo predstavitev števil z različnimi materiali in na različne načine,

Didaktična priporočila: naloge/dejavnosti, kjer mora učenec povezovati znanja,

Didaktična priporočila: naloge/dejavnosti, ki zahtevajo pojasnjevanje,

Didaktična priporočila: naloge/dejavnosti, ki od učencev zahtevajo uporabo števil, ki jih še niso obravnavali pri pouku. Pomembno je tudi, da učence vključi v različne oblike dela, npr. sodelovalno učenje (zmožnejši in manj zmožnejši učenec), kjer se učenca učita drug od drugega. ____________________________________________________________________________________________________ _____ Zgled dejavnosti: Igra dvojic s podlago za desetico Pri igri, ki poteka v dvojici, vsak učenec prejme podlago za predstavitev desetih elementov (desetična podlaga), krožce ali link kocke (elementi), dvojica pa pregrado med tekmovalcema. Ko razširimo množico števil do 20, prejme vsak po dve desetični podlagi. Igra poteka tako, da vsak igralec skrivoma na desetično podlago razporedi nekaj elementov. Učenca drug drugemu postavljata vprašanja, na katera je mogoče odgovoriti z DA ali NE. Z vprašanji poskušata pridobiti dovolj namigov za razporeditev elementov po desetični podlagi (ali obeh desetičnih podlagah) in pri tem odkriti natančno število razporejenih elementov na desetični podlagi. Primeri vprašanj: Ali je zgornja vrstica polna? Ali je na podlagi 8 krožcev? Ali je v spodnji vrstici prazno polje? Ko igralci postanejo bolj spretni, lahko štejejo število vprašanj. Zmaga igralec, ki postavi manj vprašanj in pravilno ugotovi število elementov, razporejenih po desetični podlagi. ____________________________________________________________________________________________________ _____

Didaktična priporočila: V 1. razredu učenci spoznajo najprej naravna števila do 10 in število 0, nato še naravna števila do 20 ter jih seštevajo in odštevajo. Razumevanje kardinalnosti števila (npr. z intuitivnim prepoznavanjem moči množic z majhnim številom elementov, s strategijo del-del-celota) pomaga učencem, da si izgrajujejo strukturo števila (npr. 7 = __ + __ ). Tako kot pri vpeljavi števil je tudi pri računskih operacijah pomembno, da učenci pridobivajo znanje preko konkretne, slikovne in simbolne ravni. V 1. razredu je standard znanja sicer omejen na računanje do 20 brez prehoda, uvaja pa se tudi že računanje s prehodom, ki pa ga učitelj ne oceni. Računanje s prehodom se izvaja ob delu s konkretnimi reprezentacijami (opomba: če učenec ne potrebuje konkretnih ponazoril za računanje s prehodom, mu učitelj dopušča, da računa brez pripomočkov). Metodo razdruževanja drugega seštevanca oz. odštevanca, ki je miselno zahtevnejša, učitelj uvede v 2. razredu, priprave nanjo pa se pričnejo že v 1. razredu (s standardom znanja, ki se nanaša na iskanje parov števil z določeno vsoto, posebej še za vsoto 10). V 2. razredu v množici naravnih števil do 100 učenci nadgradijo tudi seštevanje in odštevanje (prehod vpeljemo ob uporabi konkretnih strukturiranih reprezentacij). Učenci pri računanju do 100 lahko uporabljajo različne postopke, učitelj ne predpisuje le enega pravilnega postopka, lahko pa svetuje načine, ki so bolj učinkoviti (npr. račun 35 + 29 učenec lahko reši tako, da prvemu seštevancu prišteje najprej 20 in nato še 9; lahko najprej sešteje desetice in nato temu prišteje še vsoto enic; lahko pa odkrije tudi inovativne načine, s katerimi se izogne računanju s prehodom, npr.

Didaktična priporočila: prišteje 30 in odšteje 1). Učencem se predstavi postopek računanja z razčlenitvijo drugega števila v računu (npr. 8 + 7 = 8 + 2 + 5 = 10 + 5 = 15; 36 + 27 = 36 + 20 + 7= 56 + 7 = 63), vendar učitelj ne vztraja pri uporabi tega postopka, posebej še, če učenci razvijejo lasten postopek računanja, ki jih pripelje do pravilnih rezultatov. V 3. razredu učenci usvojijo seštevanje in odštevanje do 1000 najprej ustno, nato še s pisnim algoritmom. Ustno računanje do 1000 se omeji na primere brez prehoda (npr. od računov seštevanja stotic, npr. 300 + 200 do računov seštevanja dveh poljubnih trimestnih števil brez prehoda, npr. 324 + 215), saj je cilj razvijanje številskih predstav, pisni algoritem pa je uveden z namenom poenostavitve računskega in ga učitelj postopoma razširi tudi na račune s prehodom (npr. ). Pri pisnem odštevanju s prehodom se uporablja postopek, ki temelji na pravilu stalnosti razlike, tj. da se tako zmanjševanec kot odštevanec poveča za vrednost 10, kar pomeni, da se bo razlika ohranila. Ker je 10 E = 1D, se to v algoritmu prikaže s pripisom 10 enic k enicam zmanjševanca in s pripisom 1 desetice k deseticam odštevanca. Postopka pretvarjanja desetiških enot, ki temelji na pretvorbi ene desetice v 10 enic, učitelj ne uvaja načrtno, lahko pa ga ponudi učencem, ki jim odštevanje z uporabo pravila stalnosti razlike povzroča težave. V 3. razredu učenci spoznajo novi računski operaciji množenje in deljenje. Množenje se vpeljuje s pomočjo seštevanja enakih seštevancev, deljenje pa na dva različna načina: partitivni (delitev ena po ena) in kvocientni (grupiranje).

Didaktična priporočila: Pri partitivnem načinu torej iščemo število elementov v posamezni množici, pri kvocientnem načinu pa število množic. Učenci morajo do avtomatizacije usvojiti zmnožke (v obsegu 10 · 10) in količnike, vezane na poštevanko. Pri obravnavi količnikov se izhaja iz kvocientnega načina deljenja (npr. račun 8 : 2 = __ učitelj interpretira kot določanje števila skupin s po dvema elementoma - torej, koliko skupin s po dvema elementoma se lahko oblikuje iz množice 8 elementov). Ob vpeljavi večkratnikov števila 2 učenci spoznajo soda in liha števila. Učenci pridobivajo razumevanje o tem, da se večkratniki nadaljujejo tudi po desetem večkratniku (npr. 11 · 2, 12 · 2 ...), pa tudi razumevanje o tem, da se deljenje ne izide vedno, npr. pri lihih številih dobimo ostanek po deljenju z 2. Učenci pri računskih operacijah z naravnimi števili in številom 0 spoznavajo in pridobivajo razumevanje o vseh štirih računskih operacijah in postopke za njihovo izvajanje. a) Razumevanje računskih operacij in njihovih lastnosti V 1. razredu učenci spoznajo računsko operacijo seštevanje kot dodajanje ali kot združevanje elementov in odštevanje kot odvzemanje od množice elementov. Za namene predstavitve obeh operacij učitelj uporablja življenjske situacije (doživljanje izkustva) in delo s konkretnim materialom, ki jih učenci ubesedijo. Situacijo prenesejo na grafično in simbolno raven. Prehajanje med reprezentacijami naj ne bo prehitro. Računske operacije učitelj učencem predstavi z modeli, slikami, opiše jih z besedami ter na koncu prikaže s števili, saj bodo tako učenci zmožni razumevanja delovanja operacij in njihove uporabe v realnih kontekstih. Izhajamo iz konkretne izkušnje, npr.

Didaktična priporočila: situacija podiranja kegljev. Učenci izkušnjo ubesedijo (Postavljenih je bilo 5 kegljev. Nina je zakotalila žogico in z njo podrla 2 keglja. Trije keglji še stojijo.). Izkušnjo nato predstavijo grafično na semikonkretni (risanje kegljev) in na semiabstraktni ravni (keglje nadomestijo s črtami, od katerih dve prečrtajo). Nato situacijo zapišejo še na simbolni ravni (npr. 5 – 2). Učitelj vpeljuje računske operacije tako, da učenci iz življenjske situacije lahko sklepajo na matematični zapis številskega izraza ter uporabo simbola (+ in -) in se z učenci ne osredotočajo zgolj na rezultat računske operacije. Učenci s primeri življenjskih situacij intuitivno zaznajo, da gre pri seštevanju za povečevanje količine elementov (dobimo več), pri odštevanju pa nasprotno, za zmanjševanje količine elementov (dobimo manj). Iz tega potem sklepajo, da sta seštevanje in odštevanje nasprotni operaciji. Učitelj učence spodbuja k ustnemu izražanju in ubeseditvi računov s formalnim matematičnim jezikom in z vsakdanjim jezikom, ki je vezan na kontekst naloge (npr. dve plus tri je pet/dvema jabolkoma smo dodali tri jabolka in sedaj jih imamo skupaj pet). Izražanje spodbuja tudi pri opisovanju načinov razmišljanja, strategij reševanja, ki naj jih učenci ubesedijo. S tem uresničujemo tudi skupne cilje področja jezik, državljanstvo in umetnost (npr. (1.1.2.1); (1.1.2.2)). Pri spoznavanju računskih operacij množenja in deljenja učitelj prav tako izhaja iz življenjskih situacij (npr. copati po parih, avtomobilčki s štirimi kolesi …) ter uporablja različen didaktični material.

Didaktična priporočila: Učenec naj ugotovi, da račun deljenja ni nič drugega kot zgolj drugačen način zapisa računa množenja z manjkajočim faktorjem (npr. __ · 2 = 8 zapišemo drugače kot 8 : 2 = __). Učenci ob konkretnih dejavnostih spoznajo zakonitosti računskih operacij, kot so zakon o zamenjavi in zakon o združevanju. b) Strategije računanja Učenci na začetku uporabljajo manj učinkovite strategije računanja, najpogosteje povezane s štetjem (npr. na prstke, preštevanje konkretnega materiala ...). Pozneje prehajajo na uporabo kompleksnejših strategij, ki so hitrejše in učinkovitejše (naredijo manj napak). Učitelj naj bi pri učencih prepoznal uporabljene strategije in jih vodil do uporabe kompleksnejših strategij, vendar jim mora omogočiti uporabo tistih strategij, pri katerih so uspešni. Strategije računanja delimo na:

Didaktična priporočila: materialne strategije (uporaba konkretnih pripomočkov npr. prstki, številski trak ...),

Didaktična priporočila: verbalne strategije (pomoč s štetjem, štetje večkratnikov, glasno izgovarjanje postopka računanja ...),

Didaktična priporočila: miselne strategije računanja (priklic aritmetičnih dejstev iz spomina, raba specifičnih miselnih postopkov). Učenci usvajajo računske postopke seštevanja in odštevanja v množici naravnih števil do 100 po korakih, ko dvomestnemu številu:

Didaktična priporočila: prištejejo/odštejejo enice brez prehoda,

Didaktična priporočila: prištejejo/odštejejo enice do desetičnega števila,

Didaktična priporočila: prištejejo/odštejejo desetično število,

Didaktična priporočila: prištejejo/odštejejo dvomestno število brez prehoda,

Didaktična priporočila: prištejejo/odštejejo dvomestno število do desetičnega števila,

Didaktična priporočila: prištejejo/odštejejo dvomestno število s prehodom. c) Številski izrazi in pojem enakost Učitelj učence na intuitiven način uvaja v algebro že od 2. razreda dalje. Eden od načinov je s pomočjo računov z manjkajočim členom, ki strokovno sicer predstavljajo reševanje enačb, pri čemer je le način zapisa (z okvirčkom ali črto) poenostavljen in prilagojen učenčevi razvojni stopnji. Reševanje enačb lahko učitelj vpelje skozi izkušnje s tehtnico in konkretnim materialom, pri čemer učenci spoznavajo tudi pomen enakosti in enačaja kot relacijo med levo in desno stranjo enačbe (ravnovesje tehtnice). Metoda reševanja enačb v 2. in 3. razredu temelji na reševanju z logičnim premislekom (primer: 9 + ____ = 23; kako bi ugotovili, koliko je treba prišteti številu 9, da bi dobili 23, in razmislite, kako priti do manjkajočega števila; od 23 moramo odšteti 9). Če učencem ti premisleki povzročajo težave in še niso vešči rabe znanja o nasprotnih operacijah, učitelj lahko uporabi enostavnejši primer, pri katerem večja števila nadomesti z manjšimi ali s pomočjo grafičnih ponazoril – številskega traku, tabele. ____________________________________________________________________________________________________ _____ Zgleda dejavnosti: Iskanje manjkajočega števila: Dan je račun 15 – __ = 8, ki ga učenec ubesedi npr. Imam 15 žetonov. Koliko jih moram pokriti/odvzeti, da mi jih ostane 8? Učenec s kartončki prekriva/odvzema žetone, dokler na podlagi ni vidnih/ne ostane natanko 8 žetonov. Nato ugotovi, koliko žetonov je prekril/odvzel. Pojem enakost: Učenci ob danih primerih s pomočjo tehtnice razmišljajo, kaj morajo storiti, da tehtnico uravnovesijo (da bo leva stran enaka desni).

Didaktična priporočila: Iz konkretne situacije ali grafične ponazoritve s tehtnico sklepajo, koliko elementov lahko dodajo, odvzamejo ali prestavijo, da bo tehtnica v ravnovesju. ____________________________________________________________________________________________________ _____ č) Besedilne in problemske naloge Besedilne naloge v prvem vzgojno-izobraževalnem obdobju predstavljajo opise življenjskih in matematičnih situacij (npr. računskih operacij) v obliki besedila. Opisu situacije sledi vprašanje, ki je ciljno usmerjeno, in za rešitev učenci uporabijo že prej naučene matematične postopke (npr. znano računsko operacijo). Pri reševanju naloge morajo učenci izkazati razumevanje naloge tako, da besedni zapis pretvorijo v ustrezen matematični zapis ter pri tem uporabijo znanje o matematični terminologiji. Življenjske situacije v besedilni nalogi naj izhajajo iz učenčevega življenja, njegovih interesnih področij in medpredmetnih povezav. Namen reševanja besedilnih nalog je, da učenci iz besedila prepoznajo matematični koncept in za rešitev uporabijo znan postopek. Besedilne naloge se uvajajo postopno: učenci ubesedijo sliko in ustno povedo odgovore; sliki priredijo račun, ki jo ponazarja; računu priredijo sliko. Nadaljujejo z nalogami, ki so kombinacija slike in besede: k danemu besedilu narišejo rešitev, k sliki zapišejo račun in odgovor itd. V 3. razredu se učence postopoma vpeljuje v reševanje problemskih nalog , pri katerih učenci ne poznajo poti do rešitev in jih morajo samostojno načrtovati. Učenci v kontekstu zaznajo problem, analizirajo podatke, sistematično rešujejo in vrednotijo rešitve, oblikujejo odgovore ter ozaveščajo lastne miselne procese pri reševanju problema.

Didaktična priporočila: Učenci nimajo vnaprej izdelane strategije in si jih morajo priklicati iz predhodnih izkušenj in znanj ter jih uporabiti v novi situaciji. Običajno reševanje problema učencem omogoča uporabo različnih strategij, ki privedejo do pravilne rešitve/rešitev. Rešitev problema mora imeti za učence intelektualno ali/in uporabno vrednost. Učenci rešujejo probleme z več možnimi rešitvami, s preveč ali premalo podatki. Pri slednjih je namen, da učenci prepoznajo, kateri podatek za rešitev naloge manjka, ga poiščejo v virih ali ga sami določijo. Učitelj izbira problemske naloge, ki učence spodbujajo k razvoju in uporabi različnih strategij reševanja: ureditev podatkov (preglednica, seznam), spretno ugibanje, reševanje enostavnejših, sorodnih problemov, igranje situacije, reševanje v vzvratni smeri, iskanje vzorca/pravila, logično sklepanje, raba risbe ali diagrama. ____________________________________________________________________________________________________ _____ Zgled nalog: Besedilna naloga: Maša vsak teden prejme od staršev 2 evra žepnine. Koliko denarja se ji bo nabralo čez 7 tednov? Reševanje: Odgovor: ____________________________________________________ Problemska naloga: Maša prejema žepnino na naslednji način: na vsakih 6 dni ji starši dajo 2 evra. Čez koliko dni bo imela Maša 20 evrov, če v vmesnem času ne bo porabila nič denarja? Reševanje: Odgovor:____________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ _____ d) Diferenciacija in individualizacija Učitelj naj sproti ugotavlja učenčevo znanje in vrzeli v znanju pri usvajanju ciljev in standardov znanja.

Didaktična priporočila: Najpogosteje se razlike v znanju med zmožnejšimi učenci in učenci s težavami kažejo pri usvajanju ciljev Računske operacije z naravnimi števili in številom 0. Učencem z učnimi težavami pri razumevanju matematičnega znanja učinkovito pomaga »dobra poučevalna praksa«, ki naj zajema:

Didaktična priporočila: načrten, sistematičen pristop k poučevanju po manjših korakih,

Didaktična priporočila: jasna in razumljiva navodila (strukturirana),

Didaktična priporočila: več urjenja veščin in utrjevanja znanja na različne načine,

Didaktična priporočila: uporabo opor za učenje (materialne, verbalne in neverbalne),

Didaktična priporočila: poučevanje učnih strategij (npr. za pomnjenje dejstev, zaporedje korakov), postopkov računanja,

Didaktična priporočila: delitev kompleksnih ali problemskih nalog na manjše enote (po korakih, podvprašanjih),

Didaktična priporočila: utrjevanje z motivacijskimi dejavnostmi (didaktične igre). Učenci uporabljajo konkretni material tako dolgo, dokler ga potrebujejo. Učencem, ki so zmožnejši, učitelj ponudi problemske naloge; naloge, ki imajo več rešitev; naloge, ki zahtevajo pojasnjevanje, utemeljevanje, in jim omogoči, da hitreje prehajajo med reprezentacijami, tj. če učenec ne potrebuje več konkretnega materiala pri računanju, lahko preide na reševanje na simbolni ravni in pri tem uporabi tudi lastne, pravilne strategije računanja.

Didaktična priporočila: Učitelj z učenci obravnava Dele celote na konkretni in slikovni ravni, v 3. razredu doda simbolni zapis. Dele celote prikazuje s pomočjo ploskovnih in dolžinskih modelov ter modelov množice. Učitelj vpeljuje vsebino o delih celote z metodo izkušenjskega učenja, za delo na konkretni ravni izbira materiale, ki jih učenci lahko prepogibajo ter ustvarjajo sledi (delitev celote na enake dele). V 1. razredu učenci prepoznajo polovico in četrtino na konkretnih modelih (npr. list papirja, papirnati trak, trak iz blaga …) in primerih iz vsakdanjega življenja (npr. polovica žemlje, četrtina pice), v 2. razredu prepoznajo in poimenujejo dele celote (polovica, četrtina, osmina, na dolžinskih modelih lahko še tretjino) brez simbolnih zapisov ter sestavijo celoto iz delov s pomočjo modelov. Učitelj poudari, da dobimo del celote le, če gre za delitev celote na enake dele. Prikaže tudi protiprimere: delitev celote na dva ali štiri dele, ki pa niso enako veliki. Za ponazoritev polovice učitelj izbira modele z vsaj eno simetralo, za ponazoritev četrtine pa modele z vsaj dvema simetralama. Učenci ploskovni in dolžinski model najprej razpolovijo, nato iščejo še četrtino (in osmino). Učenci določajo en del celote, pozneje pa lahko tudi dele celote, kjer je število delov večje od 1, vendar le na nekaterih primerih, npr. dve tretjini, tri četrtine, dve četrtini. V 3. razredu vpeljemo tudi zapise ulomkov z enim delom celote ( , , …) ter nekatere primere z več deli celote kot je npr. , , . Razumevanje simbolnega zapisa učenci razvijajo s štetjem delov (npr. na koliko enakih delov je razdeljena celota, koliko od teh delov smo odvzeli/pobarvali …). V 3.

Didaktična priporočila: razredu razširimo prepoznavanje in poimenovanje delov celote ter dodamo modele množic, ki jih učenci povezujejo z deljenjem na konkretni ravni (npr. delitev 35 igralnih kart med pet igralcev; Koliko je tretjina od 12 frnikol?). Model množice je za učenca zahtevnejši, saj celote ne prikazuje več preko enega objekta, pač pa preko disjunktno ločenih objektov, vendar je vpeljava tega modela ključna za navezavo delov celote na računsko operacijo deljenja in prehod na računanje delov celote, ki sledi v 4. razredu. ____________________________________________________________________________________________________ _____ Zgledi dejavnosti:

Didaktična priporočila: Prepoznavanje delov celote na karticah Na karticah si oglej slike in zapise ter jih razvrsti glede na to, kateri del celote predstavljajo: polovica, tretjina, četrtina.

Didaktična priporočila: Predstavitev četrtine Z različnimi materiali, ki jih imaš na mizi, predstavi četrtino. Učenci imajo na voljo: a) papirnati trak, b) lesene palčke, c) link kocke, č) učni list z narisanimi pravokotniki na karo mreži.

Didaktična priporočila: Besedilna naloga Jure, Maja, Ana in Tilen si bodo razdelili pico tako, da bo vsak prejel enak kos pice. Nariši. Na koliko enakih delov si bodo razdelili pico, če bo vsak dobil en kos? Odgovor: ________________________________________ Kolikšen del pice bo dobil vsak otrok? Odgovor: ________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ _____

Didaktična priporočila: Izraz zaporedje bo uporabljen za dva tipa situacij: v primeru ponavljajočega gradnika bo to ponavljajoče zaporedje (nadomestilo za vzorec), v primeru naraščajoče/padajoče vrednosti členov zaporedja bo to zaporedje naraščajoče/padajoče. Prepoznavanje in nadaljevanje zaporedja je pomemben proces predalgebrskega razmišljanja. V 1. VIO je poudarek na ponavljajočih zaporedjih, ki jih učitelj z učenci prikazuje s konkretnim materialom, saj le-ta dopušča raziskovanje in napake ter jih povezuje z vzorci pri drugih predmetih, npr. glasbeni in likovni umetnosti, športu itd. Učenci izkustveno na različne načine usvojijo razumevanje pojmov zaporedje, člen, gradnik, pravilo. Cilj učenja ponavljajočih zaporedij je prepoznavanje gradnika, ki se ponavlja. Pomembno je, da se v zaporedju gradnik ponovi v celoti vsaj dvakrat. Ko učenci dosežejo razumevanje gradnika, naj ponavljajoča zaporedja sestavljajo tudi sami in poskusijo ubesediti pravilo ponavljanja. Učitelj prikazuje tudi primere zaporedij, ki imajo »enako pravilo« (npr. ABAB), vendar so členi gradnika različni. Tako učenci zaznajo, da se isto ponavljajoče zaporedje lahko pojavi v mnogih različnih oblikah. V 3. razredu naj učenci spoznavajo in raziskujejo tudi zaporedja, kjer vrednosti členov naraščajo, t. i. naraščajoča zaporedja (krajša zaporedja). Še vedno je poudarek na prikazovanju zaporedij s konkretnim materialom, vendar dodamo tudi reševanje s pomočjo slik (npr. risanje zaporedja na karo papirju). Pomembno je, da učenci ubesedijo, kako bodo zaporedje logično nadaljevali, ter posplošijo, kakšni bodo členi zaporedja v nadaljevanju ali na določenem mestu. Eden od načinov uvajanja v algebro v 1.

Didaktična priporočila: VIO je tudi s pomočjo aritmetičnih nalog, ki se jim doda vprašanje algebrske narave, s čimer učitelj spodbuja učence k opazovanju zakonitosti v številskih izrazih in oblikovanju pravila. Primer: zaporedje računov tipa 4 + 1, 4 + 2, 4 + 3, 4 + 4, 4 + 5 … lahko učitelj nadgradi z vprašanji »Kaj opaziš?« in učence spodbudi k temu, da preusmerijo pozornost od ukvarjanja s posameznim računom k primerjanju rezultatov posameznih računov in iskanju povezav med rezultati. Na osnovi tega lahko opazijo pravilo: če k rezultatu nekega računa prištejemo 1, dobimo rezultat naslednjega računa.