matematika

Pri pouku matematike se poleg vsebinskih znanj enakovredno razvijajo tudi procesna znanja, ki so povezana z razvojem mišljenja. Procesna znanja se smiselno vključujejo pri vseh temah in skupinah ciljev ter se med seboj prepletajo in dopolnjujejo. Za potrebe poglobljenega in sistematičnega razvijanja so razdeljena na skupine ciljev.

Matematični jezik vključuje branje in poslušanje matematičnih besedil ter povezovanje z obravnavano vsebino. Pomembna sta uporaba matematične terminologije in simbolov v različnih kontekstih ter predstavljanje matematične vsebine na različne načine.

Miselni procesi pri matematiki vključujejo sistematično opazovanje in oblikovanje hipotez, razvijanje zmožnosti utemeljevanja, induktivnega sklepanja ter sklepanja po analogiji, razvijanje abstraktnega in kritičnega mišljenja. Pri razvoju algoritmičnega mišljenja je poudarek na sistematičnem razčlenjevanju problemov na manjše dele, prepoznavanju in poenostavljanju ključnih podatkov, oblikovanju natančnega zaporedja korakov za reševanje ter preverjanju in izboljševanju le-teh.

Reševanje problemskih nalog vključuje spoznavanje različnih strategij za reševanje problemskih nalog, tudi z uporabo digitalne tehnologije.

Matematično raziskovanje in modeliranje zajemata raziskovanje raznolikih situacij, ugotavljanje zakonitosti, lastnosti in odnosov v matematičnih strukturah ter obravnavanje situacij z matematičnim modeliranjem, tudi z uporabo digitalne tehnologije.

Finančna pismenost vključuje reševanje problemov s finančnega področja ter ozaveščanje vloge matematike pri sprejemanju finančnih odločitev.

Učenje učenja in odnos do matematike zajema načrtovanje, organiziranje in spremljanje lastnega učenja in znanja matematike, razvijanje pozitivnega odnosa do učenja matematike ter doživljanje reševanja matematičnih problemov kot izziv in kreativno dejavnost. Pri učenju je pomembno sodelovanje s sošolci, ohranjanje radovednosti, razvijanje ustvarjalnosti in prepoznavanje napak kot učnih priložnosti.

Pri pouku matematike učenci razvijajo tudi znanja, ki so povezana z več oz. vsemi matematičnimi temami in so prenosljiva tudi na druga predmetna področja.

Tako je v temi Matematična in finančna pismenost ter odnos do matematike zajetih sedem skupin ciljev:

Matematični jezik,

Miselni procesi pri matematiki,

Reševanje problemskih nalog,

Matematično raziskovanje,

Matematično modeliranje,

Finančna pismenost,

Učenje učenja, odnos do učenja matematike.

Didaktična priporočila: Matematični jezik je specifičen, zato je branje in poslušanje matematičnih besedil, povezanih z obravnavano vsebino, ključnega pomena za razvoj bralne pismenosti učencev. V okviru prvega gradnika matematične pismenosti v tej skupini ciljev načrtno razvijamo razumevanje in uporabo matematičnih pojmov ter skrbimo za sporočanje kot osnovo matematične pismenosti. Cilje te skupine ciljev dosegajo učenci v povezavi z vsemi skupinami ciljev te in drugih tem. Učitelj je z uporabo strokovnih korektnih terminov pri svojem delu vzor učencem in vir učenja. Učitelj pripravi dejavnosti, pri katerih učenci v različnih kontekstih razvijajo razumevanje sporočil z matematično vsebino, ob tem spoznavajo in uporabljajo strokovno terminologijo in simbole. Učenci matematični jezik uporabljajo tudi pri predstavitvi, utemeljitvi in vrednotenju lastnih miselnih procesov. Učitelj naj pri vpeljevanju matematičnih terminov upošteva, da matematični diskurz vključuje besede, ki imajo v matematiki enak pomen kot v običajnem diskurzu (npr. ploskev, več, manj), različen pomen, kot v običajnem diskurzu (npr. funkcija, skladen, naravno, telo) in specifične matematične termine (npr. prizma, koordinatni sistem). Ne sme pa pozabiti tudi na osmišljanje terminov za navodila, ki imajo za učenca lahko v matematiki drugačen pomen kot sicer, npr. poenostavi, okrajšaj, razcepi. Izpostavljamo vertikalno nadgradnjo in razvoj matematičnega jezika. Postopoma (od 4. do 6. razreda) se matematični besedni zaklad učencev povečuje in skladno s tem večamo obseg vezanega besedila, ki ga oblikujejo učenci (npr. opis geometrijskega telesa, opis matematičnega postopka, utemeljitev strategije reševanja).

Didaktična priporočila: Učitelju so lahko v pomoč tudi primeri tvorjenja pisnih besedil in govornih nastopov, ki so objavljeni v priročniku Ugotavljanje matematičnega znanja . V naboru literature navajamo tudi prispevek o uporabi matematičnega besedišča kot orodja za boljše razumevanje matematičnih pojmov.

Didaktična priporočila: Razvijanje mišljenja pri matematiki prispeva k boljšemu razumevanju matematičnih pojmov in postopkov in ob tem učencem omogoča transfer usvojenih miselnih procesov na učenje pri drugih predmetih in pri soočanju z izzivi v življenju. Cilje te skupine ciljev dosegajo učenci v povezavi z drugimi skupinami ciljev drugih tem. Učitelj lahko za razvoj mišljenja uporablja različne strategije, pri katerih poudarja proces in ne samo rezultat. Pri pouku zastavlja odprta vprašanja, ki spodbujajo razmišljanje in diskusijo v razredu. Učence spodbuja, da svoje rešitve utemeljijo z uporabo matematičnih zakonitosti. Pripravi raziskovalne dejavnosti, pri katerih učenci z induktivnim sklepanjem pridejo do odgovora (npr. opazovanje zaporedij, ugotavljanje pravila in oblikovanje algebrskega izraza). Uporablja različne modele, ki učence vodijo od konkretne predstavitve pojma ali postopka do simbolnega zapisa (npr. usvajanje računskih postopkov ob modelih). Pri tem učence postopoma vpeljuje v abstraktno mišljenje z uporabo simbolov in formul namesto števil. Učence spodbuja h kritičnemu mišljenju z analizo različnih rešitev (npr. rešijo nalogo na več načinov in primerjajo strategije reševanja). Za razvoj algoritmičnega mišljenja lahko učenci prepoznavajo matematične postopke kot algoritem (npr. sledijo korakom za določanje skupnih deliteljev danih naravnih števil). Kot primer utemeljevanja navajamo učenčevo utemeljitev strategije za računanje površine in prostornine kocke in kvadra.

Didaktična priporočila: Priporočeni načini doseganja ciljev Pomen reševanje problemov je vsaj trojen: učenci spoznajo matematiko kot kreativno dejavnost, ugotavljajo določene matematične zakonitosti in pridobivajo generične spretnosti kot so vztrajnost, natančnost, sistematičnost ipd. Problemska naloga je situacija, ki jo reševalec prepozna kot izziv, nima zanjo še izdelane strategije reševanja oz. je ne more priklicati in ima zanj intelektualno in/ali uporabno vrednost. Značilnost matematičnega mišljenja je namreč v dejavnostih reševanja problemov. V resnici se učenci učijo matematike, ko stopajo po poti razvoja človeškega mišljenja (Cotič, 1998). Različni matematični koncepti in teorije so se pogosto razvili v situacijah, ko je bilo treba rešiti problem, dotedanja sredstva za reševanje pa niso več zadoščala. Na enak način naj učenci različne pojme in vedenja usvojijo z lastnim razmislekom. Učitelj naj nikoli ne nadomesti učenčevega razmišljanja (angažmaja), sicer izniči formativno plat matematičnega izobraževanja (Žakelj, 2003). Učitelj naj pri pouku matematike spodbuja učence k razvijanju lastnih strategij reševanja problemskih nalog. Te strategije naj predstavijo sošolcem in se tako učijo drug od drugega. Učenec, ki problema ne zna rešiti, bo tako spoznal eno od strategij, s katero si lahko pomaga pri reševanju podobnih problemov, učenec, ki je problem rešil drugače, pa bo pred izzivom, saj se bo moral vživeti v razmišljanje drugega in rešiti problemsko nalogo še drugače. Tako spoznavajo in se naučijo uporabljati tudi strategije, ki jih uporablja kdo drug, in si širijo nabor uporabnih strategij za reševanje, saj so za reševanje določenega problema nekatere ustreznejše od drugih.

Didaktična priporočila: Pomembno je, da ugotovijo, da lahko različne strategije vodijo do enake rešitve problema. Izziv naj jim bo rešiti problemsko nalogo na več načinov, nato primerjati strategije med seboj in poiskati najoptimalnejšo. Pri tem pa ima pomembno vlogo učitelj, ki učencem ponudi različne hevristike oz. orodja za reševanje problemov. To je lahko zapis podatkov v preglednico, iskanje zakonitosti med podatki, razbiranje posplošitev s slike (npr. slikovno zaporedje skupaj z učenci interpretira na način, da je mogoče izpeljati različne posplošitve), z nazornimi zgledi prikaže načine posploševanja v matematiki ipd. Poznamo kar nekaj metod za reševanje problemskih nalog:

Didaktična priporočila: metoda napačne predpostavke (predpostavimo, da je poljubno izbrano število rešitev problema – rezultat izvedene operacije iz naloge na izbranem številu nam pove, kako izbrano število vpliva na rešitev naloge);

Didaktična priporočila: metoda postopnega približevanja (z več zaporednimi poskusi se postopoma približujemo rešitvi problema);

Didaktična priporočila: metoda reševanja nazaj (nalogo začnemo reševati pri zadnjem podatku in po sosledju dogodkov od konca proti začetku);

Didaktična priporočila: grafično-aritmetična metoda (ponazori problem s slikovnim gradivom, pri čemer je način sklepanja podoben kot pri Descartesovi algebrski metodi – z zapisom enačbe);

Didaktična priporočila: metoda iskanja vzorcev (enostavnejša različica problema nam pomaga poiskati vzorec, način reševanja, s pomočjo katerega problem lažje rešimo). Metod reševanja oziroma strategij načeloma ne poučujemo, ampak učence spodbujamo k njihovi uporabi, ko je to potrebno. Če učenec ne zna rešiti naloge, ga usmerimo k metodi, ki jo bo lahko sam razvil in izpeljal. Njegovo razmišljanje in dejavnosti spodbujamo z vprašanji in s predlogi:

Didaktična priporočila: Ali lahko oceniš rezultat?

Didaktična priporočila: Poskusi s predvidenim rezultatom in sklepaj od konca (nazaj).

Didaktična priporočila: Poskusi na slepo (z naključno izbranim številom…).

Didaktična priporočila: Ali bi znal nalogo rešiti z drugačnimi podatki?

Didaktična priporočila: Ali bi znal rešiti podobno nalogo? Tako lahko učenec poglobi razumevanje problema in morda dobi idejo, kako začeti, kar je običajno največja zadrega učencev (Kmetič, 2015). Z učenci pri reševanju vodimo dialog, pri katerem uporabljamo vprašanja opisovanja, utemeljevanja, razširjanja situacije in spodbujamo učenčevo lastno reprezentiranje idej. Denimo da imamo problemsko nalogo 'lestve', ki je prikazana na spodnji sliki. Slika: Primer problemske naloge. Narisani so prvi trije koraki oblikovanja 'lestev', vprašanje, ki si ga zastavimo pa je, koliko paličic bi potrebovali za 4. lestev, 5. lestev, 10, lestev, morda 100. lestev. Najprej lahko opišemo, kaj opazimo, kako se lestve spreminjajo, podaljšujejo. Nato lahko izpeljujemo pravilo za podaljševanje lestev (vsakič dodamo tri nove paličice), pri čemer izhajamo iz slike, lahko zapišemo števila paličic za posamezno lestev v preglednico in tako oblikujemo pravilo. Pravilo tudi utemeljimo, nato lahko problemsko nalogo tudi razširimo (kaj se zgodi, če npr. spremenimo obliko lestve, morda naredimo zaporedje drugačnih oblik ipd.). Pri tem pa ves čas spodbujamo učenca, da reprezentira lastne ideje na različne načine in svoja razmišljanja tudi upoveduje, argumentira ter se vživlja v razmišljanja drugih. Ko se odločimo, da bomo spodbujali reševanje problemskih nalog z različnimi strategijami, naj bodo problemi tako zahtevni, da jih učenci z že znanimi postopki ne znajo rešiti. To pomeni, da morajo učenci v dani situaciji:

Didaktična priporočila: biti v zadregi, kako sploh začeti;

Didaktična priporočila: razumeti kontekst problemske situacije;

Didaktična priporočila: imeti potrebno matematično znanje. Učitelj naj bi jim po potrebi dal namig za reševanje, ne pa navodil za reševanje. Primeri vprašanj in nasvetov, ki spodbujajo razmišljanje v procesu reševanja problemske naloge in so vezani na kontekst oz. zahteve problemske naloge:

Didaktična priporočila: Ali razumeš problem? Poznaš vse pojme, besede?

Didaktična priporočila: Kaj moraš izračunati?

Didaktična priporočila: Kaj se moraš vprašati?

Didaktična priporočila: Opiši problem s svojimi besedami.

Didaktična priporočila: Nariši sliko, diagram, uredi podatke …

Didaktična priporočila: Kateri pripomoček boš uporabil?

Didaktična priporočila: Poskusi drugače.

Didaktična priporočila: Ali lahko napoveš rezultat?

Didaktična priporočila: Kako pa boš to zapisal?

Didaktična priporočila: Katere podatke imaš? Ali imaš dovolj podatkov? Kaj želiš izvedeti?

Didaktična priporočila: Poišči »skrite« podatke. Za tiste učence, ki so obtičali:

Didaktična priporočila: Kaj si naredil do zdaj?

Didaktična priporočila: Kaj bi ti lahko pomagalo rešiti problem?

Didaktična priporočila: Primerjajte svoje delo v skupini. Posredovanje učitelja med reševanjem:

Didaktična priporočila: Kaj pa misliš s tem?

Didaktična priporočila: Zakaj si se odločil, da boš to napravil tako?

Didaktična priporočila: Razloži, kako si razmišljal. Misliš, da to velja tudi za druga števila, like …?

Didaktična priporočila: Misliš, da to velja na splošno? Po koncu dejavnosti:

Didaktična priporočila: Kako si prišel do odgovora?

Didaktična priporočila: Preveri svoje rezultate. Ali si našel vse rešitve?

Didaktična priporočila: Kako si preveril svoj rezultat?

Didaktična priporočila: Razloži svoj postopek.

Didaktična priporočila: Kaj pa je bistveno?

Didaktična priporočila: Kje pa lahko to uporabimo?

Didaktična priporočila: Kaj bi drugič naredil drugače?

Didaktična priporočila: Kaj pa, če bi začel tako?(Kmetič, 2015) Pri reševanju problemov pridobimo uvid v osmišljanje matematičnih vsebin, reflektiramo matematična znanja, se učimo procesnih znanj. Reševanje problemskih nalog ustvarja tudi podlago za nadaljnje učenje in usvajanje novih znanj, saj reševanje problemskih nalog od učencev zahteva, da se spoprimejo s problemi tako, da razumejo posredovane informacije, prepoznavajo bistvene lastnosti in odnose v določeni situaciji, sestavijo ali uporabijo enega ali več lastnih prikazov, odgovarjajo na vprašanja, ki sledijo, in na koncu ovrednotijo in pojasnjujejo rezultate, da bi dodatno osvetlili razumevanje situacije (Žakelj, 2010).

Didaktična priporočila: Matematično raziskovanje (v nekaterih gradivih se je do sedaj uporabljal termin preiskovanje) je pristop k poučevanju in učenju matematike, ki učencem omogoča, da skozi lastno dejavnost ozaveščajo že usvojeno matematično znanje ali pa izgrajujejo novo matematično znanje. Matematiko se učijo skozi reševanje odprtih problemskih situacij iz matematičnega in življenjskega konteksta, pri katerih nista vnaprej znana pot in strategija reševanja ter je nejasno, kaj morajo ugotoviti. Učenci v aktivni vlogi za dano situacijo, ki je zelo odprta, opredelijo problem, zastavljajo vprašanja, načrtujejo raziskavo, preizkušajo in vrednotijo različne strategije reševanja, iščejo pravila, postavljajo hipoteze, interpretirajo ugotovitve, predstavijo svoje rezultate in o njih razpravljajo. Poudarek je na procesu reševanja (npr. kritična uporaba različnih strategij) in manj na rešitvi (npr. številskem rezultatu, formuli …), čeprav ta ni nepomembna. Raziskovanje je pomemben pristop za razvijanje procesov matematičnega mišljenja (opazovanje, iskanje pravil in zakonitosti, analiziranje, posploševanje, kritično mišljenje, interpretiranje) in se lahko razvija pri vseh matematičnih temah v učnem načrtu. Za raziskovalni pristop se lahko učitelj odloči v različnih fazah vzgojno-izobraževalnega procesa in z različnim namenom:

Didaktična priporočila: pri ugotavljanju in aktivaciji predznanja;

Didaktična priporočila: pri uvajanju v nov matematični pojem ali vsebino;

Didaktična priporočila: pri utrjevanju in ponavljanju že naučenih vsebin;

Didaktična priporočila: pri poglabljanju in širjenju že obravnavanih vsebin;

Didaktična priporočila: pri ugotavljanju in vrednotenju znanja;

Didaktična priporočila: pri povezovanju različnih vsebin znotraj matematike;

Didaktična priporočila: pri povezovanju matematičnih vsebin in vsebin drugih predmetnih področij (npr. interdisciplinarna obravnava problema). Matematično raziskovanje se pri pouku matematike lahko pojavi v obliki krajših ali daljših dejavnosti. Lahko se razlikuje v stopnji vodenja procesa (odprto, vodeno, strukturirano raziskovanje) in je lahko učinkovito podprto z digitalno tehnologijo. Dokaz učenja z matematičnim raziskovanjem je lahko izdelana in predstavljena matematična raziskava.

Didaktična priporočila: Modeliranje pri pouku zgodnje matematike je povezano s pristopi poučevanja matematike, ki spodbujajo povezovanje realnega sveta z abstraktnim svetom matematike. Matematično modeliranje lahko opišemo kot vključevanje kontekstualiziranih problemov s kompleksnimi podatki v pouk. V drugem vzgojno-izobraževalnem obdobju uvajamo preprostejše problemske naloge. Po naravi modeliranje povezuje teme znotraj matematike in vključuje tudi vsebine zunaj matematike. V nadaljevanju navajamo ugotovitve iz projekta NA-MA POTI, ki se je med ostalim osredotočal na modeliranje.

Didaktična priporočila: Matematični modeli niso zgolj opisi pojavov v svetu. Pri modeliranju želimo pojave v svetu preučiti oz. obravnavati tako, da preučujemo matematične modele, torej matematične objekte, ki se v nekem pogledu obnašajo podobno kot obravnavani pojavi. Izdelati matematični model za dano situacijo ali pojav pomeni izbrati neki matematični objekt in vzpostaviti povezavo med tem objektom in situacijo oziroma pojavom« (Magajna, 2022). Matematično modeliranje je cikličen proces, ki sestoji iz več korakov (Magajna, 2022). 1. Obravnava izhodišč (preučitev obravnavane situacije oz. pojava); 2. Formulacija (s teoretičnim modelom, empiričnim pristopom ali s simulacijsko metodo); 3. Razdelava (uporaba matematičnega znanja na matematični nalogi, ki je nastala v prejšnjem koraku, pri formulaciji); 4. Interpretacija (rezultat matematične razdelava prenesemo v kontekst); 5. Kritična analiza modela (razmislek, ali izračuni v modelu ustrezajo dejanski situaciji – če ne, se vrnemo k prvemu koraku in izboljšamo model). Slika: Shema procesa matematičnega modeliranja. Vir: Razvijamo matematično pismenost, str. 17. Matematično modeliranje je v gradnikih matematične pismenosti projekta NA-MA POTI opisano kot oblika reševanja življenjskega problema z raziskovanjem, ki vključuje poglobljeno razumevanje konteksta in izpeljavo predpostavk, ki so nam za iskanje rešitve pomembne in vodijo do posplošenih konceptualnih rešitev oziroma modela. Pri tem problem vsebuje veliko podatkov, ki so pogosto nedorečeni in jih je treba urediti ter sprejeti odločitve, katere od njih bomo upoštevali. Učenci v drugem vzgojno-izobraževalnem obdobju z matematičnim modeliranjem obravnavajo življenjske kontekste.

Didaktična priporočila: Najprej prenesejo situacijo v matematični kontekst. Sodelujejo pri opisu življenjskega problema v matematičnem jeziku, predstavijo situacijo z matematičnimi sredstvi in oblikujejo problemsko vprašanje. Zelo primerni za uvajanje v modeliranje so lahko Fermijevi problemi (Hodnik et al. 2022). Za dano situacijo oblikujejo matematične modele, tako da sodelujejo pri načrtovanju modela, pri opredelitvi spremenljivk in formuliranju predpostavk ter pri izdelavi modela, tako da uporabljajo ustrezna matematična in tehnološka orodja. Učenci lahko uporabljajo že izdelane matematične modele, na način da jih opišejo in jih predstavijo. Pri uporabi modela upoštevajo značilnosti konteksta in interpretirajo matematične rešitve v kontekstu. Izdelane modele tudi vrednotijo, tako da opisujejo ustreznost modela v različnih okoliščinah in preverjajo uporabnost modela na novih podatkih in okoliščinah (Vir: 2. gradnik matematične pismenosti, 2022).

Didaktična priporočila: Finančna pismenost je v projektu NA-MA POTI opredeljena kot zmožnost posameznika, da na osnovi finančnega znanja:

Didaktična priporočila: uporablja finančne pojme in postopke v različnih življenjskih situacijah;

Didaktična priporočila: analizira, utemeljuje, vrednoti in učinkovito sporoča svoje zamisli in rezultate pri oblikovanju, reševanju in interpretaciji finančnih problemov v različnih življenjskih situacijah;

Didaktična priporočila: sprejema odgovorne/utemeljene odločitve s prepoznavanjem razlik med željami, zmožnostmi in dejanskimi potrebami;

Didaktična priporočila: pridobi zavedanje o vlogi finančnih veščin in pomenu ustreznega izobraževanja na tem področju za kakovostno vsakdanje in poklicno življenje. Predznanje, ki ga imajo učenci ob vstopu v drugo vzgojno-izobraževalno obdobje osnovne šole, so termini, ki so jih spoznali v vrtcu in v prvem vzgojno-izobraževalnem obdobju, npr. denar (evro, cent), kovanec, bankovec, račun, cena, plačilo, banka, bančni račun, bankomat, dvig denarja, menjalnica, plačilna kartica, popust, varčevanje, hranilnik, žepnina, dobrodelnost, poraba (potrošnja). Učenci v različnih življenjskih situacijah prepoznajo in rešujejo finančne izzive ter pri tem ozaveščajo vlogo matematike pri sprejemanju finančnih odločitev. Na podlagi matematičnih izračunov sprejemajo odgovorne finančne odločitve za doseganje osebne blaginje in blaginje svoje družine. Učenci drugega vzgojno-izobraževalnega obdobja razumejo sporočila s finančno vsebino, pri tem:

Didaktična priporočila: sprejemajo oziroma razumejo enostavna sporočila s finančno vsebino;

Didaktična priporočila: povzemajo sporočila s finančno vsebino, izluščijo bistvo in potrebne podatke ter tvorijo novo sporočilo;

Didaktična priporočila: samostojno pridobijo podatke iz ustnih in pisnih virov. Poznajo in uporabljajo finančno terminologijo in simbole, kar izkazujejo tako, da pri opisovanju situacije uporabljajo nekatere finančne termine in simbole. Predstavijo, utemeljijo in vrednotijo lastne miselne procese, tako da sodelujejo v razpravi s finančno vsebino, nekateri pa zmorejo tudi po zastavljenih kriterijih presojati o lastnem delu. Poznajo in v različnih okoliščinah uporabljajo ustrezne postopke in orodja, kar izkazujejo tako, da:

Didaktična priporočila: poznajo in uporabljajo nekatere matematične postopke in orodja pri raziskovanju situacij in reševanju nalog s finančno vsebino;

Didaktična priporočila: spoznavajo praktične finančne postopke (npr. dvig in polog denarja, plačilo položnic). Napovedujejo in presojajo rešitve, utemeljujejo trditve in odločitve, tako da:

Didaktična priporočila: na podlagi podatkov, izkušenj in finančnega znanja predlagajo rešitve;

Didaktična priporočila: presojajo o željah in njihovo uresničitev prilagajajo finančnim zmožnostim;

Didaktična priporočila: sprejemajo in vrednotijo svoje finančne odločitve. Pri reševanju problemov s finančnega področja uporabljajo različne strategije, kar izkažejo tako, da:

Didaktična priporočila: pri reševanju problemov uporabljajo znane matematične strategije;

Didaktična priporočila: na osnovi danih situacij ali problemov oblikujejo različna vprašanja in podobne probleme;

Didaktična priporočila: presojajo o ustreznosti izbire strategij za reševanje;

Didaktična priporočila: nekateri učenci pa tudi reševanje problemov doživljajo kot izziv in kreativno dejavnost. (Sirnik idr., 2022)

Didaktična priporočila: Dodatna pojasnila za posamezne cilje in standarde znanja Za uresničitev cilja o uporabi digitalne tehnologije za soustvarjanje in deljenje znanja z vrstniki učitelj učencem predstavi možnost ustvarjanja skupne vsebine (4.2.4.1) in jih seznani s preprostimi sodelovalnimi digitalnimi orodji za delitev podatkov in informacij. Učence nauči ustvariti in uporabiti skupne dokumente, ki jih uporabijo za predstavitev. Dejavnost lahko učitelj načrtuje pri različnih ciljih v posameznih temah. Kot primer ustvarjanja skupne vsebine navajamo primer raziskovanja uporabnosti matematike v vsakdanjem življenju (na primer v temi Geometrija in merjenje v skupinah ciljev Geometrijski elementi in merjenje ter Transformacije ipd.). Priporočeni načini doseganja ciljev za učenje učenja in odnosa do učenja matematike V naši družbi bolj cenimo dosežke, pridobljene brez napora, kot tiste, za katere je bilo vloženega veliko truda (Gladwell, 2002, v Dweck, 2016). Ne želimo ali pa ne upamo priznati, da nečesa ne vemo, da je težko, da nam v prvem poskusu ni uspelo in da smo delali napake. Še posebej najstniki se radi pohvalijo, da so dobili dobro oceno, čeprav se sploh niso učili, saj menijo, da bodo ob takih izjavah izpadli pametni in da bodo vzbudili zavidanje pri sošolcih, ki so se dosti učili, a kljub temu dobili slabšo oceno. Ob tem radi zamolčijo, da so se zelo trudili in da jim je pri tem marsikdo pomagal, da so se sproti učili in da so v fazi dolgotrajnega učenja naredili mnogo napak. Kot da bi bilo učenje sramotno (Rajh, 2024). Učence je treba naučiti, kako naj se učijo matematiko.

Didaktična priporočila: Naj načrtujejo, organizirajo, spremljajo in kritično presojajo lastne miselne procese, lastno učenje in znanje matematike. Svoje učne procese naj redno reflektirajo, si postavljajo vprašanja o svojem napredku in prepoznavajo področja, na katerih potrebujejo izboljšave. Svoje misli, občutke in napredek pri učenju matematike lahko zapisujejo tudi v poseben učni dnevnik. Naj si zastavljajo tako kratkoročne kot dolgoročne cilje in se naučijo načrtovati korake za dosego teh ciljev. Pomembno je, da verjamejo, da zmorejo doseči učni cilj, saj se potem zavzeto lotijo dela in vztrajajo ob morebitnih ovirah in začasnih neuspehih. Naučimo jih uporabljati učinkovite učne strategije, ki jih naj prilagajajo posebnostim posameznih učnih ciljev. Pomembno je, da učenec razvije pozitiven odnos do učenja nasploh in do učenja matematike. Učitelj jim naj približa uporabnost, zanimivost in lepoto matematike ter jo prikaže kot pomembno in koristno. Matematiko je treba povezati z vsakdanjim življenjem, zato naj učitelj prikazuje praktične primere uporabe matematike v vsakdanjem življenju, da učenci vidijo njeno vrednost in uporabnost. Učitelj naj izbira zanimive matematične izzive in naloge, ki spodbujajo radovednost in raziskovanje. Naj jim daje redno povratno informacijo, ki poudarja napredek in trud učencev. Reševanje matematičnih problemov naj učencem predstavlja izziv in kreativno dejavnost. Učitelj naj ne pretirava z rutinskimi nalogami. Vključuje naj tudi odprte naloge, ki omogočajo več mogočih rešitev in spodbujajo divergentno razmišljanje. Spodbuja naj sodelovanje med učenci, predvsem pri reševanju kompleksnih problemov, kar krepi kreativnost in timsko delo.

Didaktična priporočila: Za soustvarjanje in deljenje znanja s sovrstniki naj uporabijo tudi digitalno tehnologijo. Učenci naj se učijo preko matematične igre in aktivnosti, ki vključujejo reševanje problemov na zabaven način. Otroci so po naravi radovedni in ustvarjalni, zato je potrebno v šoli ohranjati in krepiti radovednost učencev in njihovo ustvarjalnost. Učitelji naj vključujejo problemske naloge, ki zahtevajo inovativne rešitve in spodbujajo ustvarjalno mišljenje. Pri učenju se ljudje razlikujemo po svoji miselnosti:

Didaktična priporočila: Posamezniki, ki imajo togo miselnost oziroma miselno naravnanost določenosti (angl. fixet mindset), verjamejo, da uspeh temelji na prirojenih sposobnostih, ki jih imajo ali pa nimajo. Njihove lastnosti so »vklesane v kamen«, zato sploh nima smisla, da se trudijo. Zelo hitro obupajo in bežijo pred težavami. Neuspeh dojemajo kot dokaz, da ne morejo uspeti, saj za to nimajo sposobnosti.

Didaktična priporočila: Posamezniki s prožno miselnostjo oziroma z razvojno miselno naravnanostjo ali miselno naravnanost k rasti (angl. growth mindset) pa menijo, da je inteligentnost mogoče razvijati z učenjem. Poudarjajo pomen truda, trdega dela in vztrajnosti. Menijo, da se z marljivostjo in izkušnjami vsak lahko spremeni in »zraste«, saj so možgani podobni mišici, ki se spreminja in postaja močnejša, ko jo uporabljamo. Neuspeh si razlagajo kot začasno oviro, ki jih spodbudi k spremembi načina razmišljanja ali povečanju truda (povzeto po Dweck, 2016). Učitelj naj učencem razloži koncept miselne naravnanosti k rasti in jih spodbuja, da verjamejo v svoje sposobnosti za izboljšanje s trudom in vztrajnostjo. Učimo se tako, da delamo napake, da vadimo in se izboljšujemo. Delanje napak med učenjem je pri športu ali učenju glasbila nekaj popolnoma samoumevnega. Učitelj naj učencem razloži, da so napake del učnega procesa, in jih spodbuja, da vidijo napake, ki jih delajo pri matematiki, kot priložnost za učenje matematike. Učenje matematike je proces, ki ne bo uspel v prvem poskusu, potrebno je ogromno vaje in za to je potreben čas. Učence je treba naučiti, kako naj analizirajo svoje napake in ugotovijo, kaj so se iz njih naučili. Za to pa je treba ustvariti varno in spodbudno učno okolje, kjer se učenci počutijo varne in sprejete pri izražanju svojih napak in vprašanj. Tako učno okolje ne samo, da spodbuja učenje, ampak zmanjšuje tudi strah in tesnobo, ki se prepogosto pojavlja pri naših učencih v zvezi z matematiko.

Didaktična priporočila: Čezmeren strah pred matematiko (matematična anksioznost), ki lahko ovira učenje in akademsko napredovanje, se pojavlja zaradi slabih izkušenj pri izobraževanju, zaradi neobčutljivosti učiteljev, učenčevih neustreznih prepričanj in pričakovanj ter družbenih pritiskov in stereotipov o matematiki. Matematična anksioznost vpliva na veliko stvari, ki so zelo pomembne v procesu učenja: na pozornost, hitrost obdelave informacij, načrtovanje in odločanje pa tudi na mentalno procesiranje pri reševanju matematičnih nalog, saj matematična anksioznost ovira delovanje delovnega spomina, zato težje dostopamo do tega, kar sicer vemo in znamo. Vsiljive in destruktivne misli ter skrbi (npr. »Samo 17 minut še imam. Ne bo mi uspelo rešiti naloge. Tega ne zmorem. Saj sem vedel/vedela, da sem v matematiki slab/slaba.«) zavzamejo del pozornosti, ki jo posameznik potrebuje za reševanje matematične naloge. Tako mora matematično anksiozni posameznik v istem času poleg primarne (matematične) naloge rešiti še sekundarno nalogo, ki jo zahtevajo vsiljive destruktivne misli in skrbi, saj odvračajo pozornost od reševanja naloge. Te vsiljive misli so povezane z lastnim negativnim odnosom do matematike, z nizkim samozaupanjem ter z neprestanim preračunavanjem, koliko časa je še na razpolago, v primeru časovne omejitve za reševanje naloge. Ker je delovni spomin preobremenjen s trenutnim strahom, to izčrpava kognitivne vire. Zato se matematično anksiozni posameznik muči z najosnovnejšimi matematičnimi veščinami, ki jih sicer obvlada (Rajh, 2024). Učitelj naj bo pozoren na matematično anksiozne učence, naj jih spodbuja, da razvijejo pozitiven odnos do matematike in verjamejo v svoj uspeh.

Didaktična priporočila: Nauči naj jih tehnik sproščanja in obvladovanja stresa. Čustva so zelo pomembna pri učenju, zato je treba učence naučiti, kako prepoznati in upravljati svoja čustva, da bodo lahko učinkovitejše usmerjeni na učne naloge.